Calcul cu puteri

$\overline{abc}$ trebuie să fie o putere a lui $2.$ Puterile lui $2$ care au $3$ cifre sunt:

• $\boxed{\overline{abc} = 128} = 2^7 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^7)^{128} = 2^{896} \Rightarrow \boxed{\overline{de}=96}.$
• $\overline{abc} = 256 = 2^8 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^8)^{256} = 2^{8 \cdot 256}$ - nu convine (prea mare);
• $\overline{abc} = 512 = 2^9 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^9)^{512} = 2^{9 \cdot 512}$ - nu convine (prea mare).

Rămâne doar soluția $\boxed{\overline{abcde}=12896}.$

$1156-9+\{1+8+7 \cdot [125-4 \cdot (1000+9):x]\} = 2017(2018 - 2017).$
$1156-9+\{1+8+7 \cdot [125-4 \cdot (1000+9):x]\} = 2017(2018 - 2017).$
$1147+[9+7 \cdot(125-4 \cdot 1009:x)]=2017.$
$9+7 \cdot(125-4 \cdot 1009:x) = 870$
$7 \cdot(125-4 \cdot 1009:x)=861$
$125-4 \cdot 1009:x = 123$
$2-4 \cdot 1009:x = 0$
$4 \cdot 1009:x = 2$
$x=2 \cdot 1009 \Rightarrow \boxed{x=2018}.$

Calculam separat suma: $S=2^0+2^1+2^2 + \ldots + 2^{2018} \quad (1)$
Înmulțind cu $2$ obținem: $2S=2^1+2^2+2^3 + \ldots + 2^{2019} \quad (2)$
Din (2)-(1) rezultă $\boxed{S=2^{2019}-1}.$

$N =16 \cdot (2^2)^{2^{2018}} : (2 \cdot 2^{2^0+2^1+2^2 + \ldots + 2^{2018}})=$
$=16 \cdot 2^{2 \cdot 2^{2018}}: (2 \cdot 2^{2^{2019}-1})=$
$=16 \cdot 2^{2^{2019}}: (\cancel{2} \cdot 2^{2^{2019}}:\cancel{2})=$
$=16 \cdot 2^{2^{2019}}:2^{2^{2019}} = 16.$

$2 \cdot 2^n \cdot 5^2 \cdot 5 ^n + 2^n \cdot 5 \cdot 5 ^n + 2^2 \cdot 2^n \cdot 5^n=590.$
$2^n \cdot 5^n (2 \cdot 5^2 + 5 + 2^2) = 590.$
$(2\cdot 5)^n \cdot 59 = 590.$
$10^n = 10 \Rightarrow \boxed{n=1}.$

Evident, $m > n.$
$2^{3n}(2^{3m-3n}-1) = 2^6 \cdot 7.$

Cum $2^{3m-3n}-1$ este impar, obligatoriu $2^{3n}=2^6,$ adică $\boxed{n=2}.$
Apoi, din $2^{3m-3\cdot 2}-1 = 7$ rezultă $2^{3m-6} = 2^3,$ adică $3m-6=3.$ Deci $\boxed{m=3}.$

$a=2 \cdot 2^{2023} \cdot 5^{2023}-1=$
$2 \cdot 10^{2023}-1=2\underbrace{00\ldots0}_{\text{2023 de 0}}-1=1\underbrace{99\ldots9}_{\text{2023 de 9}},$ deci primele două cifre sunt $19.$

Suma cifrelor este $S=9 \cdot 2023 + 1 =$
$= 9 \cdot (2022+1)+1 =$
$= 9 \cdot 3 \cdot 674 + 9 + 1=$
$= 27 \cdot 674 + 10.$
Deci restul împărțirii lui $S$ la $27$ este $10.$

a) $a= 1+2+2^2(1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021})=$
$= 4 \cdot (1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021}) + 3,$ deci restul cerut este $3.$

Metoda 2: $a= 1+2+2^2+ \ldots + 2^{2023}.$
$2a= 2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2024}.$
Prin scădere obținem $\boxed{a=2^{2024}-1}.$
Așadar, $a=2^{2024}-4+3=4^{1012}-4+3 = 4 \cdot (4^{1011}-1)+3,$ deci restul cerut este $3.$

b) $b=(7^5 \cdot 9^5 - 9^5)^{10}: (7^{35}:7^{2 \cdot 15}-1)^{10}:9^{2 \cdot 25}=$
$=9^{5 \cdot 10} \cdot (7^5-1)^{10}: (7^5-1)^{10}:9^{50},$ deci $\boxed{b=1}.$

$a+b = 4^x$
$2^{2024}-1+1 = 4^x$
$4^{1012} = 4^x \Rightarrow \boxed{x=1012}.$

$d=3^{18} \cdot 3^{606} \cdot 5^{202} : (3^3 \cdot 5^2 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 9+5 =$
$=3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{312} \cdot 5^{101})^2 + 14=$
$=3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{624} \cdot 5^{202}) + 14=1+14,$ deci $\boxed{d=15}.$

$a^2+2ab-2ac+d^2=$
$a^2+2a(b-c)+d^2=$
$10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 8 + 15^2=100+160+225 = 485.$

$2019 = 2048-29 = (2^{11}-1)-28 = (2^{10}+2^9+2^8 + \ldots + 2^1+1) - (2^4+2^3+2^2) =$
$=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^1+2^0.$
O soluție este $a=10, b=9, c=9, d=7, e=6, f=5, g=1, h=0.$

Pentru $x \leq 4,~20 + 2^x + 3^x + 4^x + 5^x \leq 20 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 = 998 <1111.$
Pentru $x\geq6,$ deja $5^6 > 9999.$
Rămâne $x=5,$ caz în care $20 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 = 4444.$
Deci $x+y = 5+4 = 9.$

După calcule, $a=1777$ și $b=990,$ deci $\boxed{a-b=787}.$
Încercăm să-l încadrăm pe $787$ între două puteri succesive ale lui $3:$
$3^6 = 729 < \boxed{787} < 2187 = 3^7 \Rightarrow \boxed{n=6}.$