Exercițiul 457

E.457. Numerele naturale xx și yy sunt soluțiile ecuației 20+2x+3x+4x+5x=yyyy.‾20 + 2^x + 3^x + 4^x + 5^x = \overline{yyyy.} Care este valoarea sumei x+y?x + y?

Upper, etapa II, 2022
Răspuns | Soluție

Răspuns: 9.9.

Soluție:

Pentru x≤4, 20+2x+3x+4x+5x≤20+24+34+44+54=998<1111.x \leq 4,~20 + 2^x + 3^x + 4^x + 5^x \leq 20 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 = 998 <1111.
Pentru x≥6,x\geq6, deja 56>9999.5^6 > 9999.
Rămâne x=5,x=5, caz în care 20+25+35+45+55=4444.20 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 = 4444.
Deci x+y=5+4=9.x+y = 5+4 = 9.