Exercițiul 379

E.379. Determinați numerele naturale mm și nn știind că 23m−23n=448.2^{3m}-2^{3n}=448.

Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2023; Petre Năchilă
Răspuns | Soluție

Răspuns: m=3, n=2.m=3,~n=2.

Soluție:

Evident, m>n.m > n.
23n(23m−3n−1)=26⋅7.2^{3n}(2^{3m-3n}-1) = 2^6 \cdot 7.

Cum 23m−3n−12^{3m-3n}-1 este impar, obligatoriu 23n=26,2^{3n}=2^6, adică n=2.\boxed{n=2}.
Apoi, din 23m−3⋅2−1=72^{3m-3\cdot 2}-1 = 7 rezultă 23m−6=23,2^{3m-6} = 2^3, adică 3m−6=3.3m-6=3. Deci m=3.\boxed{m=3}.