Problema 1. Fie numerele $a=1+2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2023}$ și $b=(63^5-3^{10})^{10}:(7^{35}:49^{15}-2023^0)^{10}:81^{25}.$
a) Determinați restul împărțirii numărului $a$ la $4;$
b) Determinați numărul natural $x$ pentru care $a+b=4^x.$

Problema 2. Calculați $a^2+2ab-2ac+d^2,$ știind că $a=10,$ $b-c=8$ și $d=[3^{18} \cdot (3^3 \cdot 5)^{202}]:(27 \cdot 25 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 3^2 + 5 \cdot 2019^0.$

Problema 3. Determinați numerele naturale $m$ și $n$ știind că $2^{3m}-2^{3n}=448.$

Problema 4. Aflați numărul natural $x$ din egalitatea:
$34^2-3^2+\{2018^0+2^3+7^1 \cdot [5^3-2^2 \cdot (10^3+3^2):x]\} = 2017 \cdot 2018 - 2017^2.$

Problema 5. Determinați numărul natural $n$ pentru care $2^{n+1} \cdot 5 ^{n+2} + 2^n \cdot 5 ^{n+1} + 2^{n+2} \cdot 5^n=590.$

Problema 6. Fie numărul natural $a=2^{2024} \cdot 5^{2023}-1$.
a) Aflați primele două cifre ale numărului $a;$
b) Aflați restul împărțirii sumei cifrelor numărului $a$ la $27.$