Reguli de calcul cu puteri

Tema 6

Lucian Maran, MateMaraton, 28-10-2024

Problema 1. Fie numerele a=1+2+22+23+…+22023a=1+2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2023} și b=(635−310)10:(735:4915−20230)10:8125.b=(63^5-3^{10})^{10}:(7^{35}:49^{15}-2023^0)^{10}:81^{25}.
a) Determinați restul împărțirii numărului aa la 4;4;
b) Determinați numărul natural xx pentru care a+b=4x.a+b=4^x.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2023, E.382
Soluție:

a) a=1+2+22(1+21+22+…+22021)=a= 1+2+2^2(1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021})=
=4⋅(1+21+22+…+22021)+3,= 4 \cdot (1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021}) + 3, deci restul cerut este 3.3.

Metoda 2: a=1+2+22+…+22023.a= 1+2+2^2+ \ldots + 2^{2023}.
2a=2+22+23+…+22024.2a= 2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2024}.
Prin scădere obținem a=22024−1.\boxed{a=2^{2024}-1}.
Așadar, a=22024−4+3=41012−4+3=4⋅(41011−1)+3,a=2^{2024}-4+3=4^{1012}-4+3 = 4 \cdot (4^{1011}-1)+3, deci restul cerut este 3.3.

b) b=(75⋅95−95)10:(735:72⋅15−1)10:92⋅25=b=(7^5 \cdot 9^5 - 9^5)^{10}: (7^{35}:7^{2 \cdot 15}-1)^{10}:9^{2 \cdot 25}=
=95⋅10⋅(75−1)10:(75−1)10:950,=9^{5 \cdot 10} \cdot (7^5-1)^{10}: (7^5-1)^{10}:9^{50}, deci b=1.\boxed{b=1}.

a+b=4xa+b = 4^x
22024−1+1=4x2^{2024}-1+1 = 4^x
41012=4x⇒x=1012.4^{1012} = 4^x \Rightarrow \boxed{x=1012}.

Problema 2. Calculați a2+2ab−2ac+d2,a^2+2ab-2ac+d^2, știind că a=10,a=10, b−c=8b-c=8 și d=[318⋅(33⋅5)202]:(27⋅25⋅3309⋅599)2+32+5⋅20190.d=[3^{18} \cdot (3^3 \cdot 5)^{202}]:(27 \cdot 25 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 3^2 + 5 \cdot 2019^0.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedora, 2019, E.385
Soluție:

d=318⋅3606⋅5202:(33⋅52⋅3309⋅599)2+9+5=d=3^{18} \cdot 3^{606} \cdot 5^{202} : (3^3 \cdot 5^2 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 9+5 =
=3624⋅5202:(3312⋅5101)2+14==3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{312} \cdot 5^{101})^2 + 14=
=3624⋅5202:(3624⋅5202)+14=1+14,=3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{624} \cdot 5^{202}) + 14=1+14, deci d=15.\boxed{d=15}.

a2+2ab−2ac+d2=a^2+2ab-2ac+d^2=
a2+2a(b−c)+d2=a^2+2a(b-c)+d^2=
102+2⋅10⋅8+152=100+160+225=485.10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 8 + 15^2=100+160+225 = 485.

Problema 3. Determinați numerele naturale mm și nn știind că 23m−23n=448.2^{3m}-2^{3n}=448.

Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2023; Petre Năchilă, E.379
Soluție:

Evident, m>n.m > n.
23n(23m−3n−1)=26⋅7.2^{3n}(2^{3m-3n}-1) = 2^6 \cdot 7.

Cum 23m−3n−12^{3m-3n}-1 este impar, obligatoriu 23n=26,2^{3n}=2^6, adică n=2.\boxed{n=2}.
Apoi, din 23m−3⋅2−1=72^{3m-3\cdot 2}-1 = 7 rezultă 23m−6=23,2^{3m-6} = 2^3, adică 3m−6=3.3m-6=3. Deci m=3.\boxed{m=3}.

Problema 4. Aflați numărul natural xx din egalitatea:
342−32+{20180+23+71⋅[53−22⋅(103+32):x]}=2017⋅2018−20172.34^2-3^2+\{2018^0+2^3+7^1 \cdot [5^3-2^2 \cdot (10^3+3^2):x]\} = 2017 \cdot 2018 - 2017^2.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018, E.370
Soluție:

1156−9+{1+8+7⋅[125−4⋅(1000+9):x]}=2017(2018−2017).1156-9+\{1+8+7 \cdot [125-4 \cdot (1000+9):x]\} = 2017(2018 - 2017).
1156−9+{1+8+7⋅[125−4⋅(1000+9):x]}=2017(2018−2017).1156-9+\{1+8+7 \cdot [125-4 \cdot (1000+9):x]\} = 2017(2018 - 2017).
1147+[9+7⋅(125−4⋅1009:x)]=2017.1147+[9+7 \cdot(125-4 \cdot 1009:x)]=2017.
9+7⋅(125−4⋅1009:x)=8709+7 \cdot(125-4 \cdot 1009:x) = 870
7⋅(125−4⋅1009:x)=8617 \cdot(125-4 \cdot 1009:x)=861
125−4⋅1009:x=123125-4 \cdot 1009:x = 123
2−4⋅1009:x=02-4 \cdot 1009:x = 0
4⋅1009:x=24 \cdot 1009:x = 2
x=2⋅1009⇒x=2018.x=2 \cdot 1009 \Rightarrow \boxed{x=2018}.

Problema 5. Determinați numărul natural nn pentru care 2n+1⋅5n+2+2n⋅5n+1+2n+2⋅5n=590.2^{n+1} \cdot 5 ^{n+2} + 2^n \cdot 5 ^{n+1} + 2^{n+2} \cdot 5^n=590.

Olimpiadă, etapa locală, Maramureș, 2019; Supliment GM 11/2018, E.374
Soluție:

2⋅2n⋅52⋅5n+2n⋅5⋅5n+22⋅2n⋅5n=590.2 \cdot 2^n \cdot 5^2 \cdot 5 ^n + 2^n \cdot 5 \cdot 5 ^n + 2^2 \cdot 2^n \cdot 5^n=590.
2n⋅5n(2⋅52+5+22)=590.2^n \cdot 5^n (2 \cdot 5^2 + 5 + 2^2) = 590.
(2⋅5)n⋅59=590.(2\cdot 5)^n \cdot 59 = 590.
10n=10⇒n=1.10^n = 10 \Rightarrow \boxed{n=1}.

Problema 6. Fie numărul natural a=22024⋅52023−1a=2^{2024} \cdot 5^{2023}-1.
a) Aflați primele două cifre ale numărului a;a;
b) Aflați restul împărțirii sumei cifrelor numărului aa la 27.27.

Olimpiadă, etapa locală, Teleorman, 2023, E.381
Soluție:

a=2⋅22023⋅52023−1=a=2 \cdot 2^{2023} \cdot 5^{2023}-1=
2⋅102023−1=200…0⏟2023 de 0−1=199…9⏟2023 de 9,2 \cdot 10^{2023}-1=2\underbrace{00\ldots0}_{\text{2023 de 0}}-1=1\underbrace{99\ldots9}_{\text{2023 de 9}}, deci primele două cifre sunt 19.19.

Suma cifrelor este S=9⋅2023+1=S=9 \cdot 2023 + 1 =
=9⋅(2022+1)+1== 9 \cdot (2022+1)+1 =
=9⋅3⋅674+9+1== 9 \cdot 3 \cdot 674 + 9 + 1=
=27⋅674+10.= 27 \cdot 674 + 10.
Deci restul împărțirii lui SS la 2727 este 10.10.