Exercițiul 382

E.382. Fie numerele a=1+2+22+23+…+22023a=1+2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2023} și b=(635−310)10:(735:4915−20230)10:8125.b=(63^5-3^{10})^{10}:(7^{35}:49^{15}-2023^0)^{10}:81^{25}.
a) Determinați restul împărțirii numărului aa la 4;4;
b) Determinați numărul natural xx pentru care a+b=4x.a+b=4^x.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) R=3; x=1012.R=3; ~ x=1012.

Soluție:

a) a=1+2+22(1+21+22+…+22021)=a= 1+2+2^2(1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021})=
=4⋅(1+21+22+…+22021)+3,= 4 \cdot (1+2^1+2^2+\ldots+2^{2021}) + 3, deci restul cerut este 3.3.

Metoda 2: a=1+2+22+…+22023.a= 1+2+2^2+ \ldots + 2^{2023}.
2a=2+22+23+…+22024.2a= 2+2^2+2^3+ \ldots + 2^{2024}.
Prin scădere obținem a=22024−1.\boxed{a=2^{2024}-1}.
Așadar, a=22024−4+3=41012−4+3=4⋅(41011−1)+3,a=2^{2024}-4+3=4^{1012}-4+3 = 4 \cdot (4^{1011}-1)+3, deci restul cerut este 3.3.

b) b=(75⋅95−95)10:(735:72⋅15−1)10:92⋅25=b=(7^5 \cdot 9^5 - 9^5)^{10}: (7^{35}:7^{2 \cdot 15}-1)^{10}:9^{2 \cdot 25}=
=95⋅10⋅(75−1)10:(75−1)10:950,=9^{5 \cdot 10} \cdot (7^5-1)^{10}: (7^5-1)^{10}:9^{50}, deci b=1.\boxed{b=1}.

a+b=4xa+b = 4^x
22024−1+1=4x2^{2024}-1+1 = 4^x
41012=4x⇒x=1012.4^{1012} = 4^x \Rightarrow \boxed{x=1012}.