Exercițiul 385

E.385. Calculați a2+2ab−2ac+d2,a^2+2ab-2ac+d^2, știind că a=10,a=10, b−c=8b-c=8 și d=[318⋅(33⋅5)202]:(27⋅25⋅3309⋅599)2+32+5⋅20190.d=[3^{18} \cdot (3^3 \cdot 5)^{202}]:(27 \cdot 25 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 3^2 + 5 \cdot 2019^0.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedora, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: d=15; S=485.d=15;~ S=485.

Soluție:

d=318⋅3606⋅5202:(33⋅52⋅3309⋅599)2+9+5=d=3^{18} \cdot 3^{606} \cdot 5^{202} : (3^3 \cdot 5^2 \cdot 3^{309} \cdot 5^{99})^2 + 9+5 =
=3624⋅5202:(3312⋅5101)2+14==3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{312} \cdot 5^{101})^2 + 14=
=3624⋅5202:(3624⋅5202)+14=1+14,=3^{624} \cdot 5^{202} : (3^{624} \cdot 5^{202}) + 14=1+14, deci d=15.\boxed{d=15}.

a2+2ab−2ac+d2=a^2+2ab-2ac+d^2=
a2+2a(b−c)+d2=a^2+2a(b-c)+d^2=
102+2⋅10⋅8+152=100+160+225=485.10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 8 + 15^2=100+160+225 = 485.