Exercițiul 369

E.369. Determinați cifrele a,b,c,d,ea,b,c,d,e cu proprietatea că abc‾abc‾=2cde‾.\overline{abc}^{\overline{abc}}=2^{\overline{cde}}.

Olimpiadă, etapa locală, Timis, 2009, Andrei Eckstein
Nomina, Olimpiade și Concursuri, 12/8
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: abc‾\overline{abc} trebuie să fie o putere a lui 2.2.

Răspuns: abcde‾=12896.\boxed{\overline{abcde}=12896}.

Soluție:

abc‾\overline{abc} trebuie să fie o putere a lui 2.2. Puterile lui 22 care au 33 cifre sunt:

  • abc‾=128=27⇒abc‾abc‾=(27)128=2896⇒de‾=96.\boxed{\overline{abc} = 128} = 2^7 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^7)^{128} = 2^{896} \Rightarrow \boxed{\overline{de}=96}.
  • abc‾=256=28⇒abc‾abc‾=(28)256=28⋅256\overline{abc} = 256 = 2^8 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^8)^{256} = 2^{8 \cdot 256} - nu convine (prea mare);
  • abc‾=512=29⇒abc‾abc‾=(29)512=29⋅512\overline{abc} = 512 = 2^9 \Rightarrow \overline{abc}^{\overline{abc}}=(2^9)^{512} = 2^{9 \cdot 512} - nu convine (prea mare).

Rămâne doar soluția abcde‾=12896.\boxed{\overline{abcde}=12896}.