Compararea puterilor

a) $99^{100} + 100^{99} ~ \boxed{?}~ 99^{99} + 100^{100}.$
$99^{100} - 99^{99} ~ \boxed{?} ~ 100^{100} - 100^{99}.$
$99^{99}(99-1) ~ \boxed{?} ~ 100^{99}(100 - 1).$
$99^{99}\cdot 98 ~ \boxed{<} ~ 100^{99} \cdot 99.$

b) Deoarece $3^5<7^3$ și $4^4<7^3,$ avem:
$3^{5001}+4^{4001}=$
$=3 \cdot 3^{5000} + 4 \cdot 4^{4000}=$
$=3 \cdot (3^5)^{1000} + 4 \cdot(4^4)^{1000} <$
$< 3 \cdot (7^3)^{1000} + 4 \cdot(7^3)^{1000}=$
$=7^{3000}(3+4) = 7^{3001}.$

$a=3^{2018}:9 = 3^{2018}:3^2 = 3^{2016}.$
$b=2^{2018} \cdot (2^{504}:2)^2 = 2^{2018} \cdot (2^{503})^2 = 2^{2018} \cdot 2^{1006} = 2^{3024}.$

Comparăm $a$ cu $b$:
$3^{2 \cdot 1008} ~ \boxed{?} ~ 2^{3 \cdot 1008}$
$(3^2)^{1008} ~ \boxed{?} ~ (2^3)^{1008}$
$9^{1008} ~ \boxed{>} ~ 8^{1008}.$

Demonstrăm separat cele două inegalități:
a) $5^{24}:2 ~ \boxed{?} ~ 2^{55} \quad | \cdot 2$
$5^{3 \cdot 8} ~ \boxed{?} ~ 2^{7 \cdot 8}$
$(5^3)^8~ \boxed{?} ~ (2^7)^8$
$125^8~ \boxed{<} ~ 128^8.$

b) $2^{55} ~ \boxed{?} ~ 5^{25}$
$2^{11 \cdot 5} ~ \boxed{?} ~ 5^{5 \cdot 5}$
$(2^{11})^5 ~ \boxed{?} ~ (5^5)^5$
$2048^5 ~ \boxed{<} ~ 3125^5$

Cum toate cele $4$ numere au aceeași bază, problema se reduce la a compara numerele: $A'=2^{222},$ $E'=222^2,$ $M'=22^{22},$ $T'=22^2.$

a) Evident, $\boxed{T'< E'}.$

b) Compar $E'$ ci $M':$
$222^2 ~ \boxed{?} ~ 22^{22}$
$222^2 ~ \boxed{?} ~ (22^{11})^2$
$222 ~ \boxed{<} ~ 22^{11},$ deci $\boxed{E' < M'}.$

c) Compar $M'$ ci $A':$
$22^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222}$
$2^{22} \cdot 11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222} \quad |:2^{22}$
$11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{200}.$

$11^{22} < 16^{22} = (2^4)^{22} = 2^{88}< 2^{200}.$
Deci $11^{22} ~ \boxed{<} ~ 2^{200} \Rightarrow \boxed{M' < A'}.$

În concluzie, $T'<E'<M'<A',$ iar cuvântul cerut este $TEMA.$

Compar $A$ cu $B:$
$3^{25}(3+1) ~ \boxed{?} ~ 2^{38}(2^4+1)$
$3^{25} \cdot 4 ~ \boxed{?} ~ 2^{38} \cdot 17 \quad |:2^2$
$3^{25} ~ \boxed{?} ~ 2^{36} \cdot 17.$

$3^{25} = (3^5)^5 = 243^5 < 256^5 = (2^8)^5 = 2^{40} = 2^{36} \cdot 2^4 < 2^{36} \cdot 17.$
Deci $3^{25} ~ \boxed{<} ~ 2^{36} \cdot 17 \Rightarrow \boxed{A<B}.$

Comparăm $a$ cu $b:$
$2^n(5+2+1) ~ \boxed{?} ~ 3^n(3^2+15+3)$
$2^n \cdot 8 ~ \boxed{?} ~ 3^n \cdot 27$
$2^n \cdot 2^3 ~ \boxed{?} ~ 3^n \cdot 3^3$
$2^{n+3} ~ \boxed{<} ~ 3^{n+3},$ deci $\boxed{a<b}.$

$3^{3^n+1} + 2 \cdot 3^{3^n} < 3^{29}-3^{28} - 3^{27}$
$3^{3^n}(3+2) < 3^{27}(3^2 - 3 - 1) \quad |:5$
$3^{3^n} < 3^{27}$
$\Rightarrow 3^n < 27 \Rightarrow \boxed{n \in \{0,1,2\}}.$

$a=\big(2^{9} \cdot 2^{15} : 2^4 + 2^{30}:2^{20} \cdot 2^{10} \big)^3:(2^3)^2=$
$=\big(2^{9+15-4} + 2^{30-20+20}\big)^3:2^6=$
$=\big(2^{20} + 2^{20}\big)^3:2^6=$
$=\big(2 \cdot 2^{20} \big)^3:2^6=$
$=\big(2^{21} \big)^3:2^6=$
$=2^{63}:2^6 \Rightarrow \boxed{a=2^{57}}.$

Calculăm separat suma $S=3+3^2+3^3+ \ldots + 3^{37}.$
Dupa înmulțire cu $3,$ suma devine: $3S=3^2+3^3+3^4+ \ldots + 3^{38}.$
După scăderea celor două relații obținem: $2S=3^{38}-3,$ deci $S=\boxed{(3^{38}-3):2}.$
$b=3+S \cdot 2 = 3 + (3^{38}-3) \Rightarrow \boxed{b=3^{38}}.$

Comparăm $a$ cu $b$:
$2^{3 \cdot 19} ~ \boxed{?} ~ 3^{2 \cdot 19}$
$(2^3)^{19} ~ \boxed{?} ~ (3^2)^{19}$
$2^3 ~ \boxed{<} ~ 3^2,$ deci $\boxed{a<b}.$

Compar $a$ cu $b$:
$8 \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{2(n+1)} ~ \boxed{?} ~ 7 \cdot 5^{n+2} \cdot 3^{n+1} \cdot 5^{n+1}$
$8 \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{2n+2} ~ \boxed{?} ~ 7 \cdot 3^{n+1} \cdot 5^{2n+3} \quad |: 3^{n+1} \cdot 5^{2n+2}$
$8 \cdot 3 ~ \boxed{<} ~ 7 \cdot 5,$ deci $\boxed{a<b}.$

Deoarece $2^5<5^3$ și $3^4<5^3,$ avem:
$2^{501} +3^{401}=$
$=2 \cdot 2^{500} +3 \cdot 3^{400}=$
$=2 \cdot (2^5)^{100} +3 \cdot (3^4)^{100}<$
$<2 \cdot (5^3)^{100} +3 \cdot (5^3)^{100}$
$=2 \cdot 5^{300} +3 \cdot 5^{300}=$
$5 \cdot 5^{300} = 5^{301}.$

Așadar, $2^{501} < 5^{301} - 3^{401}.$

După calcule, $x=18$ și $y=12.$

Compar $3^x$ și $5^y.$
$3^{3 \cdot 6} ~ \boxed{?} ~ 5^{2 \cdot 6}$
$(3^3)^6 ~ \boxed{?} ~ (5^2)^6$
$27^6 ~ \boxed{>} ~ 25^6,$ deci $\boxed{3^x>5^y}.$