Exercițiul 440

E.440. Ce cuvânt se obține aranjând crescător numerele: A=22222,A=2^{2^{222}}, E=22222,E=2^{222^2}, M=22222,M=2^{22^{22}}, T=2222.T=2^{22^2}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: TEMA.TEMA.

Soluție:

Cum toate cele 44 numere au aceeași bază, problema se reduce la a compara numerele: A′=2222,A'=2^{222}, E′=2222,E'=222^2, M′=2222,M'=22^{22}, T′=222.T'=22^2.

a) Evident, T′<E′.\boxed{T'< E'}.

b) Compar E′E' ci M′:M':
2222 ? 2222222^2 ~ \boxed{?} ~ 22^{22}
2222 ? (2211)2222^2 ~ \boxed{?} ~ (22^{11})^2
222 < 2211,222 ~ \boxed{<} ~ 22^{11}, deci E′<M′.\boxed{E' < M'}.

c) Compar M′M' ci A′:A':
2222 ? 222222^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222}
222⋅1122 ? 2222∣:2222^{22} \cdot 11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{222} \quad |:2^{22}
1122 ? 2200.11^{22} ~ \boxed{?} ~ 2^{200}.

1122<1622=(24)22=288<2200.11^{22} < 16^{22} = (2^4)^{22} = 2^{88}< 2^{200}.
Deci 1122 < 2200⇒M′<A′.11^{22} ~ \boxed{<} ~ 2^{200} \Rightarrow \boxed{M' < A'}.

În concluzie, T′<E′<M′<A′,T'<E'<M'<A', iar cuvântul cerut este TEMA.TEMA.