Numărul și suma cifrelor pentru un număr natural

a) Vom încerca să-l încadrăm pe $9^{20}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Evident, $9^{20}<10^{20}.$ Vom demonstra că $9^{20}>10^{19}.$
$3^4=81>8 \cdot 10 \Rightarrow 9^{20} = 3^{40}>8^{10} \cdot 10^{10}.$ Mai rămâne să demonstrăm că $8^{10} \cdot 10^{10} > 10^{19}.$
$2^{3 \cdot 10} > 10^9$
$(2^{10})^3 > (10^3)^3$
$1024^3 > 1000^3$ (adevărat).
Prin urmare, $10^{19} < 9^{20}<10^{20},$ deci $9^{20}$ are $20$ de cifre.

b) $A^{200}$ are $200$ de cifre doar dacă $\boxed{10^{199}\leq A^{200} < 10^{200}} ~ (1).$
Din a doua inegalitate obținem $A\leq 9.$
Vom arăta că nu există niciun număr $A \leq 9$ care să îndeplinească condiția $10^{199}\leq A^{200}.$ Altfel spus, vom arăta că $\boxed{A^{200}< 10^{199}}.$
$A^{200} \leq 9^{200} = 3^{400} = (3^5)^{80} = 243^{80}<256^{80} = (2^8)^{80} = 2^{640}.$
Ne mai rămâne de arătat că $2^{640} < (2 \cdot 5)^{199},$ adică $2^{441}<5^{199}.$
Știind că $2^9 = 512<625 = 5^4,$ vom scrie inegalitatea de mai sus astfel:
$(2^9)^{49} < 5^3 \cdot (5^4)^{49}$
$512^{49} < 5^3 \cdot 625^{49}$ (adevărat).
Prin urmare, condiția (1) nu poate fi îndeplinită, deci răspunsul este "nu".

Suma cifrelor este $2+210 \cdot 9 + 3 = 1895.$

Dacă $a,b,c$ sunt cifre $\Rightarrow a+b+c \leq 27.$
Cum $a+b+c = 26 \Rightarrow$ numărul $\overline{abc}$ conține un $8$ și doi de $9.$

• $\overline{abc}=899 \Rightarrow \overline{abc}+1=900 \Rightarrow$ suma cifrelor = $9;$
• $\overline{abc}=989 \Rightarrow \overline{abc}+1=990 \Rightarrow$ suma cifrelor = $18;$
• $\overline{abc}=998 \Rightarrow \overline{abc}+1=999 \Rightarrow$ suma cifrelor = $27.$

În concluzie, avem $3$ răspunsuri posibile: $9,~ 18$ și $27.$

a)

b) Suma cifrelor este $1+0+2017 \cdot 9 = 18154.$

$2^{2018} \cdot 5^{1938} = 10^{1938} \cdot 2^{80}.$
Vom încerca să-l încadrăm pe $2^{80}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Arătăm că $10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.$

Demonstrăm prima inegalitate: $2^{24} \cdot 5^{24} \leq 2^{80}.$
$5^{24} \leq 2^{56}.$
$(5^3)^8 \leq (2^7)^8$
$125 \leq 127$ (adevărat).

Demonstrăm a doua inegalitate: $2^{80}<2^{25} \cdot 5^{25}.$
$2^{55}< 5^{25}$
$(2^{11})^5 < (5^5)^5$
$2048 < 3125$ (adevărat).

Așadar, $10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.$
$10^{1938} \cdot 10^{24} \leq 10^{1938} \cdot 2^{80} < 10^{1938} \cdot 10^{25}$
$10^{1962} \leq 2^{2018} \cdot 5^{1938} < 10^{1963}$
Deci $2^{2018} \cdot 5^{1938}$ are $1963$ cifre.

$A=313 \cdot 5 \cdot 2^{939} \cdot 5^{939}-131=$
$=1565 \cdot 10^{939}-131=$
$=1564\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{936 de 9}}869,$ deci suma cifrelor lui $A$ este $1+5+6+4+9 369 \cdot 9 +8+6+9 = 8463.$

Pentru ca $x$ să fie cât mai mic, trebuie să aibă cât mai puține cifre, deci cât mai mulți de $9.$
$2005:9 =222,$ rest $7,$ deci $\boxed{x=7\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{222 de 9}}}$.

Cum suma cifrelor trebuie să fie $228,$ putem scrie:
$n \cdot 9 + 18 +2 +1 =228 \Rightarrow \boxed{n=23}.$

Dacă numărul nostru este $\overline{abc},$ atunci $c$ poate fi doar $0$ sau $5.$

• Pentru $\boxed{c=0},$ avem $a+b=17 \Rightarrow \overline{abc}=\{\overline{890}, \overline{980} \}.$
• Pentru $\boxed{c=5},$ avem $a+b=12 \Rightarrow \overline{abc}=\{\overline{395}, \overline{485}, \overline{845}, \overline{935} \}.$

a) $(2^{10})^5 > (10^3)^5.$
$1024^5 > 1000^5$ (adevărat).

b) Vom încerca să-l încadrăm pe $2^{50}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Arătăm că $10^{15} < 2^{50} < 10^{16}.$
Prima inegalitate a fost demonstrată la punctul a. Mai rămâne să arătăm că $2^{50} < 10^{16}.$
$(2^{25})^2 < (10^8)^2.$
$2^{25} < 2^8 \cdot 5^8.$
$2^{17} < 5^8,$ relație adevărată pentru că $2^{17} < 2^{18} = (2^9)^2=512^2<625^2 = (5^4)^2 = 5^8.$

Cum $10^{15} < 2^{50} < 10^{16},$ rezultă că $2^{50}$ are $16$ cifre.

$2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 > 1000^3 = (10^3)^3 = 10^9.$
Vom arăta că $2^{30}<10^{10}.$
$(2^3)^{10} < 10^{10}$ (adevărat).

Cum $10^9 < 2^{30}<10^{10},$ rezultă că $2^{30}$ are $10$ cifre.

$A=2^{2019 \cdot n+4} \cdot 5^{2019 \cdot n + 4} \cdot 5^4-6 = 10^{2019 \cdot n+4} \cdot 5^4-6$

Cum suma cifrelor este $127240,$ avem:
$6+2+4+(2019 \cdot n + 3) \cdot 9+4 = 127240 \Rightarrow \boxed{n=7}.$

a) Compar $10^{30}$ cu $2^{100}$
$(10^3)^{10} ~ \boxed{?} ~ (2^{10})^{10}$
$10^3 ~ \boxed{?} ~ 2^{10}$
$1000 < 1024 \Rightarrow \boxed{10^{30} < 2^{100}}.$

b) Încercăm să-l încadrăm pe $2^{100}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Mai rămâne să arătăm că $2^{100} < 10^{31}.$
$2^{69+31} < 2^{31} \cdot 5^{31}$
$2^{69} < 5^{31}.$

Vom demonstra inegalitatea de mai sus plecând de la
$512<625$
$2^9<5^4$
$2^{9 \cdot 7}<5^{4 \cdot 7}$
$2^{63} \cdot 2^6 <5^{28} \cdot 5^3$
$2^{69} < 5^{31},$ adică ceea ce trebuia demonstrat.

Prin urmare, $10^{30} < 2^{100} < 10^{31},$ deci $2^{100}$ are $31$ de cifre.