Exercițiul 480

E.480. Fie xx cel mai mic număr natural care are suma cifrelor 2005.2005. Determinați numărul natural nn pentru care numărul 10n+225−x10^{n+225}-x are suma cifrelor egală cu 228.228.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2005
Art, Matematică pentru excelență, 6/33
Răspuns | Soluție

Răspuns: 23.23.

Soluție:

Pentru ca xx să fie cât mai mic, trebuie să aibă cât mai puține cifre, deci cât mai mulți de 9.9.
2005:9=222,2005:9 =222, rest 7,7, deci x=799…9⏟222 de 9\boxed{x=7\underbrace{99 \ldots 9}_{\text{222 de 9}}}.

1 00…0⏞n de 0 000 00…00⏞222 de 0 −7 99…99⏟222 de 999…9⏟n de9 992 00…0⏟222 de 01 \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c} \begin{aligned} 1~\overbrace{00 \ldots 0}^{\text{n de 0}} ~ 000 ~\overbrace{00 \ldots 00}^{\text{222 de 0}}& \space - \\ 7~\underbrace{99 \ldots 99}_{\text{222 de 9}}& \\ \hline \underbrace{99 \ldots 9}_{\text{n de9}}~992~\underbrace{00 \ldots 0}_{\text{222 de 0}}1& \end{aligned} \\ \end{array}

Cum suma cifrelor trebuie să fie 228,228, putem scrie:
n⋅9+18+2+1=228⇒n=23.n \cdot 9 + 18 +2 +1 =228 \Rightarrow \boxed{n=23}.