Exercițiul 483

E.483. Aflați câte cifre are numărul 230.2^{30}.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2019
Mate2000, 20/69, supermate
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1010 cifre.

Soluție:

230=(210)3=10243>10003=(103)3=109.2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 > 1000^3 = (10^3)^3 = 10^9.
Vom arăta că 230<1010.2^{30}<10^{10}.
(23)10<1010(2^3)^{10} < 10^{10} (adevărat).

Cum 109<230<1010,10^9 < 2^{30}<10^{10}, rezultă că 2302^{30} are 1010 cifre.