Exercițiul 485

a) Compar $10^{30}$ cu $2^{100}$
$(10^3)^{10} ~ \boxed{?} ~ (2^{10})^{10}$
$10^3 ~ \boxed{?} ~ 2^{10}$
$1000 < 1024 \Rightarrow \boxed{10^{30} < 2^{100}}.$

b) Încercăm să-l încadrăm pe $2^{100}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Mai rămâne să arătăm că $2^{100} < 10^{31}.$
$2^{69+31} < 2^{31} \cdot 5^{31}$
$2^{69} < 5^{31}.$

Vom demonstra inegalitatea de mai sus plecând de la
$512<625$
$2^9<5^4$
$2^{9 \cdot 7}<5^{4 \cdot 7}$
$2^{63} \cdot 2^6 <5^{28} \cdot 5^3$
$2^{69} < 5^{31},$ adică ceea ce trebuia demonstrat.

Prin urmare, $10^{30} < 2^{100} < 10^{31},$ deci $2^{100}$ are $31$ de cifre.