Exercițiul 484

E.484. Se consideră numărul A=22019⋅n+4⋅52019⋅n+8−6,A=2^{2019 \cdot n+4} \cdot 5^{2019 \cdot n + 8}-6, unde nn este număr natural nenul. Aflați n,n, știind că suma cifrelor numărului AA este 127240.127240.

Vasile Șerdean, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=7.n=7.

Soluție:

A=22019⋅n+4⋅52019⋅n+4⋅54−6=102019⋅n+4⋅54−6A=2^{2019 \cdot n+4} \cdot 5^{2019 \cdot n + 4} \cdot 5^4-6 = 10^{2019 \cdot n+4} \cdot 5^4-6

625000…0000⏞2019⋅n+4 de 0 −6624999…999⏟2019⋅n+3 de 94 \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c} \begin{aligned} 625\overbrace{000 \ldots 0000}^{2019 \cdot n +4 \text{ de 0}}& \space - \\ 6& \\ \hline 624\underbrace{999 \ldots 999}_{2019 \cdot n +3 \text{ de 9}}4& \end{aligned} \\ \end{array}

Cum suma cifrelor este 127240,127240, avem:
6+2+4+(2019⋅n+3)⋅9+4=127240⇒n=7.6+2+4+(2019 \cdot n + 3) \cdot 9+4 = 127240 \Rightarrow \boxed{n=7}.