Exercițiul 478

$2^{2018} \cdot 5^{1938} = 10^{1938} \cdot 2^{80}.$
Vom încerca să-l încadrăm pe $2^{80}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Arătăm că $10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.$

Demonstrăm prima inegalitate: $2^{24} \cdot 5^{24} \leq 2^{80}.$
$5^{24} \leq 2^{56}.$
$(5^3)^8 \leq (2^7)^8$
$125 \leq 127$ (adevărat).

Demonstrăm a doua inegalitate: $2^{80}<2^{25} \cdot 5^{25}.$
$2^{55}< 5^{25}$
$(2^{11})^5 < (5^5)^5$
$2048 < 3125$ (adevărat).

Așadar, $10^{24} \leq 2^{80} < 10^{25}.$
$10^{1938} \cdot 10^{24} \leq 10^{1938} \cdot 2^{80} < 10^{1938} \cdot 10^{25}$
$10^{1962} \leq 2^{2018} \cdot 5^{1938} < 10^{1963}$
Deci $2^{2018} \cdot 5^{1938}$ are $1963$ cifre.