Exercițiul 474

a) Vom încerca să-l încadrăm pe $9^{20}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Evident, $9^{20}<10^{20}.$ Vom demonstra că $9^{20}>10^{19}.$
$3^4=81>8 \cdot 10 \Rightarrow 9^{20} = 3^{40}>8^{10} \cdot 10^{10}.$ Mai rămâne să demonstrăm că $8^{10} \cdot 10^{10} > 10^{19}.$
$2^{3 \cdot 10} > 10^9$
$(2^{10})^3 > (10^3)^3$
$1024^3 > 1000^3$ (adevărat).
Prin urmare, $10^{19} < 9^{20}<10^{20},$ deci $9^{20}$ are $20$ de cifre.

b) $A^{200}$ are $200$ de cifre doar dacă $\boxed{10^{199}\leq A^{200} < 10^{200}} ~ (1).$
Din a doua inegalitate obținem $A\leq 9.$
Vom arăta că nu există niciun număr $A \leq 9$ care să îndeplinească condiția $10^{199}\leq A^{200}.$ Altfel spus, vom arăta că $\boxed{A^{200}< 10^{199}}.$
$A^{200} \leq 9^{200} = 3^{400} = (3^5)^{80} = 243^{80}<256^{80} = (2^8)^{80} = 2^{640}.$
Ne mai rămâne de arătat că $2^{640} < (2 \cdot 5)^{199},$ adică $2^{441}<5^{199}.$
Știind că $2^9 = 512<625 = 5^4,$ vom scrie inegalitatea de mai sus astfel:
$(2^9)^{49} < 5^3 \cdot (5^4)^{49}$
$512^{49} < 5^3 \cdot 625^{49}$ (adevărat).
Prin urmare, condiția (1) nu poate fi îndeplinită, deci răspunsul este "nu".