Exercițiul 482

a) $(2^{10})^5 > (10^3)^5.$
$1024^5 > 1000^5$ (adevărat).

b) Vom încerca să-l încadrăm pe $2^{50}$ între două puteri succesive ale lui $10.$ Arătăm că $10^{15} < 2^{50} < 10^{16}.$
Prima inegalitate a fost demonstrată la punctul a. Mai rămâne să arătăm că $2^{50} < 10^{16}.$
$(2^{25})^2 < (10^8)^2.$
$2^{25} < 2^8 \cdot 5^8.$
$2^{17} < 5^8,$ relație adevărată pentru că $2^{17} < 2^{18} = (2^9)^2=512^2<625^2 = (5^4)^2 = 5^8.$

Cum $10^{15} < 2^{50} < 10^{16},$ rezultă că $2^{50}$ are $16$ cifre.