Exercițiul 436

E.436. a) Comparați numerele 99100+1009999^{100} + 100^{99} și 9999+100100.99^{99} + 100^{100}.
b) Demonstrați că 35001+44001<73001.3^{5001}+4^{4001} < 7^{3001}.

Concursul "Ștefan Dârțu", Vatra Dornei, 2013, GM 9/2013
Aritmetică pentru excelență, Artur Bălăucă
Soluție
Soluție:

a) 99100+10099 ? 9999+100100.99^{100} + 100^{99} ~ \boxed{?}~ 99^{99} + 100^{100}.
99100−9999 ? 100100−10099.99^{100} - 99^{99} ~ \boxed{?} ~ 100^{100} - 100^{99}.
9999(99−1) ? 10099(100−1).99^{99}(99-1) ~ \boxed{?} ~ 100^{99}(100 - 1).
9999⋅98 < 10099⋅99.99^{99}\cdot 98 ~ \boxed{<} ~ 100^{99} \cdot 99.

b) Deoarece 35<733^5<7^3 și 44<73,4^4<7^3, avem:
35001+44001=3^{5001}+4^{4001}=
=3⋅35000+4⋅44000==3 \cdot 3^{5000} + 4 \cdot 4^{4000}=
=3⋅(35)1000+4⋅(44)1000<=3 \cdot (3^5)^{1000} + 4 \cdot(4^4)^{1000} <
<3⋅(73)1000+4⋅(73)1000=< 3 \cdot (7^3)^{1000} + 4 \cdot(7^3)^{1000}=
=73000(3+4)=73001.=7^{3000}(3+4) = 7^{3001}.