Exercițiul 459

E.459. Demonstrați că 2501<5301−3401.2^{501} < 5^{301} - 3^{401}.

Angela Dorneanu și Fănel Lipan, Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2019
Soluție
Soluție:

Deoarece 25<532^5<5^3 și 34<53,3^4<5^3, avem:
2501+3401=2^{501} +3^{401}=
=2⋅2500+3⋅3400==2 \cdot 2^{500} +3 \cdot 3^{400}=
=2⋅(25)100+3⋅(34)100<=2 \cdot (2^5)^{100} +3 \cdot (3^4)^{100}<
<2⋅(53)100+3⋅(53)100<2 \cdot (5^3)^{100} +3 \cdot (5^3)^{100}
=2⋅5300+3⋅5300==2 \cdot 5^{300} +3 \cdot 5^{300}=
5⋅5300=5301.5 \cdot 5^{300} = 5^{301}.

Așadar, 2501<5301−3401.2^{501} < 5^{301} - 3^{401}.