Exercițiul 442

E.442. Comparați numerele naturale AA și B,B, unde A=326+325A=3^{26}+3^{25} și B=242+238.B=2^{42} + 2^{38}.

Daniela Stănică și Nicolae Stănică, Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: A<B.A<B.

Soluție:

Compar AA cu B:B:
325(3+1) ? 238(24+1)3^{25}(3+1) ~ \boxed{?} ~ 2^{38}(2^4+1)
325⋅4 ? 238⋅17∣:223^{25} \cdot 4 ~ \boxed{?} ~ 2^{38} \cdot 17 \quad |:2^2
325 ? 236⋅17.3^{25} ~ \boxed{?} ~ 2^{36} \cdot 17.

325=(35)5=2435<2565=(28)5=240=236⋅24<236⋅17.3^{25} = (3^5)^5 = 243^5 < 256^5 = (2^8)^5 = 2^{40} = 2^{36} \cdot 2^4 < 2^{36} \cdot 17.
Deci 325 < 236⋅17⇒A<B.3^{25} ~ \boxed{<} ~ 2^{36} \cdot 17 \Rightarrow \boxed{A<B}.