Exercițiul 446

$a=\big(2^{9} \cdot 2^{15} : 2^4 + 2^{30}:2^{20} \cdot 2^{10} \big)^3:(2^3)^2=$
$=\big(2^{9+15-4} + 2^{30-20+20}\big)^3:2^6=$
$=\big(2^{20} + 2^{20}\big)^3:2^6=$
$=\big(2 \cdot 2^{20} \big)^3:2^6=$
$=\big(2^{21} \big)^3:2^6=$
$=2^{63}:2^6 \Rightarrow \boxed{a=2^{57}}.$

Calculăm separat suma $S=3+3^2+3^3+ \ldots + 3^{37}.$
Dupa înmulțire cu $3,$ suma devine: $3S=3^2+3^3+3^4+ \ldots + 3^{38}.$
După scăderea celor două relații obținem: $2S=3^{38}-3,$ deci $S=\boxed{(3^{38}-3):2}.$
$b=3+S \cdot 2 = 3 + (3^{38}-3) \Rightarrow \boxed{b=3^{38}}.$

Comparăm $a$ cu $b$:
$2^{3 \cdot 19} ~ \boxed{?} ~ 3^{2 \cdot 19}$
$(2^3)^{19} ~ \boxed{?} ~ (3^2)^{19}$
$2^3 ~ \boxed{<} ~ 3^2,$ deci $\boxed{a<b}.$