Exercițiul 372

E.372. Calculați 16⋅422018:(4⋅221⋅222⋅223⋅…⋅222018).16 \cdot 4 ^ {2 ^ {2018}}:(4 \cdot 2^{2^1} \cdot 2^{2^2} \cdot 2^{2^3} \cdot \ldots \cdot 2^{2^{2018}}).

Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2018; Sorin Borodi
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se calculează separat suma: S=20+21+22+…+22018.S=2^0+2^1+2^2 + \ldots + 2^{2018}.

Răspuns: 16.16.

Soluție:

Calculam separat suma: S=20+21+22+…+22018(1)S=2^0+2^1+2^2 + \ldots + 2^{2018} \quad (1)
Înmulțind cu 22 obținem: 2S=21+22+23+…+22019(2)2S=2^1+2^2+2^3 + \ldots + 2^{2019} \quad (2)
Din (2)-(1) rezultă S=22019−1.\boxed{S=2^{2019}-1}.

N=16⋅(22)22018:(2⋅220+21+22+…+22018)=N =16 \cdot (2^2)^{2^{2018}} : (2 \cdot 2^{2^0+2^1+2^2 + \ldots + 2^{2018}})=
=16⋅22⋅22018:(2⋅222019−1)==16 \cdot 2^{2 \cdot 2^{2018}}: (2 \cdot 2^{2^{2019}-1})=
=16⋅222019:(2⋅222019:2)==16 \cdot 2^{2^{2019}}: (\cancel{2} \cdot 2^{2^{2019}}:\cancel{2})=
=16⋅222019:222019=16.=16 \cdot 2^{2^{2019}}:2^{2^{2019}} = 16.