Exercițiul 381

E.381. Fie numărul natural a=22024⋅52023−1a=2^{2024} \cdot 5^{2023}-1.
a) Aflați primele două cifre ale numărului a;a;
b) Aflați restul împărțirii sumei cifrelor numărului aa la 27.27.

Olimpiadă, etapa locală, Teleorman, 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 19;19; b) 10.10.

Soluție:

a=2⋅22023⋅52023−1=a=2 \cdot 2^{2023} \cdot 5^{2023}-1=
2⋅102023−1=200…0⏟2023 de 0−1=199…9⏟2023 de 9,2 \cdot 10^{2023}-1=2\underbrace{00\ldots0}_{\text{2023 de 0}}-1=1\underbrace{99\ldots9}_{\text{2023 de 9}}, deci primele două cifre sunt 19.19.

Suma cifrelor este S=9⋅2023+1=S=9 \cdot 2023 + 1 =
=9⋅(2022+1)+1== 9 \cdot (2022+1)+1 =
=9⋅3⋅674+9+1== 9 \cdot 3 \cdot 674 + 9 + 1=
=27⋅674+10.= 27 \cdot 674 + 10.
Deci restul împărțirii lui SS la 2727 este 10.10.