Exercițiul 441

E.441. Arătați că există numerele naturale a,b,c,d,e,f,g,h,a,b,c,d,e,f,g,h, astfel încât 2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h=2019.2^a+2^b+2^c+2^d+2^e+2^f+2^g+2^h = 2019.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: 2019=2048−29=(211−1)−28.2019 = 2048-29 = (2^{11}-1)-28.

Răspuns: a=10,b=9,c=9,d=7,e=6,f=5,g=1,h=0.a=10, b=9, c=9, d=7, e=6, f=5, g=1, h=0.

Soluție:

2019=2048−29=(211−1)−28=(210+29+28+…+21+1)−(24+23+22)=2019 = 2048-29 = (2^{11}-1)-28 = (2^{10}+2^9+2^8 + \ldots + 2^1+1) - (2^4+2^3+2^2) =
=210+29+28+27+26+25+21+20.=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^1+2^0.
O soluție este a=10,b=9,c=9,d=7,e=6,f=5,g=1,h=0.a=10, b=9, c=9, d=7, e=6, f=5, g=1, h=0.