Exercițiul 374

E.374. Determinați numărul natural nn pentru care 2n+1⋅5n+2+2n⋅5n+1+2n+2⋅5n=590.2^{n+1} \cdot 5 ^{n+2} + 2^n \cdot 5 ^{n+1} + 2^{n+2} \cdot 5^n=590.

Olimpiadă, etapa locală, Maramureș, 2019; Supliment GM 11/2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=1.n=1.

Soluție:

2⋅2n⋅52⋅5n+2n⋅5⋅5n+22⋅2n⋅5n=590.2 \cdot 2^n \cdot 5^2 \cdot 5 ^n + 2^n \cdot 5 \cdot 5 ^n + 2^2 \cdot 2^n \cdot 5^n=590.
2n⋅5n(2⋅52+5+22)=590.2^n \cdot 5^n (2 \cdot 5^2 + 5 + 2^2) = 590.
(2⋅5)n⋅59=590.(2\cdot 5)^n \cdot 59 = 590.
10n=10⇒n=1.10^n = 10 \Rightarrow \boxed{n=1}.