Numărul, suma și produsul divizorilor

Notăm $p^a=A$ și $q^b=B.$ Divizorii celor două numere sunt:

• $D_{A}=\{1, p^1, p^2, \ldots, p^a\} \Rightarrow a+1$ elemente;
• $D_{B}=\{1, q^1, q^2, \ldots, q^b\} \Rightarrow b+1$ elemente;

Divizorii produsului $A \cdot B$ vor fi toate produsele posibile care se pot forma cu elementele celor două mulțimi. Folosind regula produsului, obținem $\boxed{d(n) = (a+1)(b+1)}.$

Notăm $p^a=A$ și $q^b=B.$ Divizorii celor două numere sunt:

• $D_{A}=\{1, p^1, p^2, \ldots, p^a\};$
• $D_{B}=\{1, q^1, q^2, \ldots, q^b\}.$

Suma divizorii produsului $A \cdot B$ va fi egală cu suma următoarelor linii:

• $1 \cdot 1 + 1 \cdot q^1 + 1 \cdot q^2 + \ldots + 1 \cdot q^b = 1(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b);$
• $p^1 \cdot 1 + p^1 \cdot q^1 + p^1 \cdot q^2 + \ldots + p^1 \cdot q^b = p^1(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b);$
• ...
• $p^a \cdot 1 + p^a \cdot q^1 + p^a \cdot q^2 + \ldots + p^a \cdot q^b = p^a(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b).$

Deci $S(n)=S(A \cdot B) = (1+q^1+q^2+ \ldots + q^b)(1+p^1+p^2+ \ldots + p^a) = \dfrac{p^{a+1}-1}{p-1} \cdot \dfrac{q^{b+1}-1}{q-1}.$

$n=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1 \cdot 7^1 \Rightarrow d(n)=5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2=60.$

$2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \Rightarrow d(2016)=6 \cdot 3 \cdot 2 = 6^2,$ deci $d(2016)$ este pătrat perfect.

Cum numărul de divizori este 5 (număr prim), înseamnă că descompunerea numărului nostru în produs de puteri de numere prime va fi $p^{5-1},$ cu $p$ număr prim.
Cel mai mic număr de două cifre se obține pentru $p=2.$ Deci numărul cerut este $16.$

$2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61 \Rightarrow d(2013) = 2 \cdot 2 \cdot 2 =8.$
Numerele care au $8$ divizori sunt de forma:

• $p_1^1 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1,$ cu varianta minimă $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30;$
• $p_1^3 \cdot p_2^1,$ cu varianta minimă $2^3 \cdot 3 = 24;$
• $p_1^7,$ cu varianta minimă $2^7 = 128.$

Dintre acestea, cel mai mic număr este $24.$

$1008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7$

Numerele care au $36$ divizori sunt de forma:

• $p_1^{35}$
• $p_1^{17} \cdot p_2^1,\quad p_1^{11} \cdot p_2^2,\quad p_1^8 \cdot p_2^3,\quad p_1^5 \cdot p_2^5$
• $p_1^8 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1,\quad p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1, \quad p_1^3 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2$
• $p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1 \cdot p_4^1$

Dintre acestea, numere divizivile cu $2018$ pot fi doar cele de pe ultimele două rânduri. Numărul minim se obține pentru $p_1=2, ~p_2=3$ și $p_3=7,$ iar acesta va fi $p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2016.$

Metoda 2 Cum $1008$ este unul dintre divizori, înseamnă că descompunerea lui $n$ va conține factorii $2^4, 3^2, 7^1,$ care au $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ divizori. Descompunerea lui $n$ nu poate conține puterea unui alt număr prim fiindcă în acest caz $n$ ar avea minim $5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60$ divizori. Prin urmare, singura soluție de a ajunge de la $30$ la $36$ divizori este să creștem una din puteri. Cum $n$ trebuie să fie cât mai mic, vom începe cu creșterea puterilor lui $2.$
Pentruu $n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ obținem $6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ divizori $\Rightarrow n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2016.$

$N=(a+b+c) \cdot 11 \cdot 101.$ Numărul final de divizori este influențat de valoarea lui $S=a+b+c.$
Dar $S$ este un număr cuprins între $3$ și $27,$ și poate fi de forma:

• $p_1^4 \quad p_1^3, \quad p_1^2, \quad p_1^1 \Rightarrow d_{max}(S)=5;$
• $p_1^3 \cdot p_2^1 = 2^3 \cdot 3 \Rightarrow d(S)=4 \cdot 2=8;$
• $p_1^2 \cdot p_2^1 \Rightarrow d(S)=3 \cdot 2=6;$

Așadar

• Pentru $a+b+c = 11$ avem $N=11^2 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{min}(N)=3\cdot 2 = 6};$
• Pentru $a+b+c= 2^3 \cdot 3$ avem $N=2^3 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{max}(N)=4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32};$

După calcule, $\boxed{a=2018^n = 2^n \cdot 1009^n},$ cu $2$ și $1009$ numere prime. Deci $a$ are $(n+1)(n+1)$ divizori.
Din $(n+1^2)=2025 \Rightarrow \boxed{n=44}.$

După calcule $\boxed{n=\dfrac{2017}{2019}}.$
$m \cdot n \in \N \Rightarrow \boxed{m=2019 \cdot k} \Rightarrow m \cdot n = 2017 \cdot k.$
Cum $2017$ este număr prim și $m \cdot n$ are $3$ divizori $\Rightarrow m \cdot n = 2017^2 \Rightarrow \boxed{k = 2017} \Rightarrow\boxed{m=2019 \cdot 2017}.$

$2601 = 3^2\cdot 17^2.$ Dacă $n$ are $4$ divizori înseamnă că este de forma $p^3,$ sau $p_1^1 \cdot p_2^1,$ cu $p,~p_1,~p_2$-numere prime.

• Dacă $n=p^3,$ atunci $D_n \in \{1, p, p^2, p^3\} \Rightarrow$ produsul divizorilor $=p^6 \not=2601.$
• Dacă $n=p_1 \cdot p_2,$ atunci $D_n \in \{1, p_1, p_2, p_1 \cdot p_2\} \Rightarrow$ produsul divizorilor $=p_1^2 \cdot p_2^2=2601 = 3^2\cdot 17^2 \Rightarrow \boxed{n=3 \cdot 17 = 51}.$

Cum $3$ este un număr prim $\Rightarrow n=p^2,$ cu p număr prim.
$D_n = \{1, p, p^2\} \Rightarrow 1+p+p^2=553.$
$p(p+1)=552 \Rightarrow \boxed{p=23} \Rightarrow n=23^2,$ deci $\boxed{n=529}.$

După calcule, $A=1008 \cdot 2018 =(2^4 \cdot 3^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 1009) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 1009.$
Deci $A$ are $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2=72$ divizori.

După calcule, $A=2^{15} \cdot 3^8 \cdot 5^3 \cdot 7^2.$
Notăm $2^3=a,~ 3^3=b,~5^3=c \Rightarrow \boxed{A=a^5 \cdot b^2 \cdot c^1 \cdot 3^2 \cdot 7^2}.$
Numărul divizorilor de forma $k^3$ ai numărului $A$ este egal cu numărul divizorilor numărului $a^5 \cdot b^2 \cdot c^1,$ adică $6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ divizori (inclusiv $1,$ pentru că și $1=1^3$).

Dacă $d_1, d_2, \ldots, d_k$ sunt toți divizorii naturali ai unui număr $n,$ atunci $\{d_1,d_2, \ldots,d_k\} = \Big\{\dfrac{n}{d_1},\dfrac{n}{d_2}, \ldots,\dfrac{n}{d_k}\Big\}.$ Din egalitatea celor două mulțimi rezultă relația $\boxed{(d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k)^2 = n^k}.$

Fie $e_1,e_2, \ldots, e_k$ și $f_1,f_2, \ldots, f_k$ toți divizorii naturali ai numărului $a,$ respectiv $b.$ Atunci:

În general, dacă $d_1, d_2, \ldots, d_k$ sunt toți divizorii naturali ai unui număr natural $n,$ atunci $\{d_1,d_2, \ldots,d_k\} = \Big\{\dfrac{n}{d_1},\dfrac{n}{d_2}, \ldots,\dfrac{n}{d_k}\Big\}.$ Din egalitatea celor două mulțimi rezultă $(d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k)^2 = n^k.$ Dacă în această relație notăm cu $P(n)$ produsul divizorilor naturali ai lui $n,$ atunci $\boxed{P(n)=\sqrt{n^k}},$ unde $k$ reprezintă numărul divizorilor naturali ai lui $n.$

Înlocuind datele noastre în această ultimă formulă, obținem:
$5832^2 = n^6 \Rightarrow \boxed{n=18}.$