Exercițiul 528

E.528. Fie numărul n=11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+2018.n=\dfrac{1}{1+2} +\dfrac{1}{1+2+3} + \ldots + \dfrac{1}{1+2+3 + \ldots + 2018}. Determinați cel mai mic număr natural mm pentru care numărul natural m⋅nm \cdot n are exact 33 divizori.

Olimpiadă, etapa locală, Maramureș, 2018
GM 9/2017
Răspuns | Soluție

Răspuns: m=2019⋅2017.m=2019 \cdot 2017.

Soluție:

După calcule n=20172019.\boxed{n=\dfrac{2017}{2019}}.
m⋅n∈N⇒m=2019⋅k⇒m⋅n=2017⋅k.m \cdot n \in \N \Rightarrow \boxed{m=2019 \cdot k} \Rightarrow m \cdot n = 2017 \cdot k.
Cum 20172017 este număr prim și m⋅nm \cdot n are 33 divizori ⇒m⋅n=20172⇒k=2017⇒m=2019⋅2017.\Rightarrow m \cdot n = 2017^2 \Rightarrow \boxed{k = 2017} \Rightarrow\boxed{m=2019 \cdot 2017}.