Exercițiul 525

E.525. Aflați cel mai mic număr natural nn care are exact 3636 divizori naturali, unul dintre aceștia fiind 1008.1008.

Concurs "Isoscel, Caracal, 2016; Concurs "Teodor Topan", Șimleu Silvaniei, 2016
Răspuns | Soluție

Răspuns: 2016.2016.

Soluție:

1008=24⋅32⋅71008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7

Numerele care au 3636 divizori sunt de forma:

  • p135p_1^{35}
  • p117⋅p21,p111⋅p22,p18⋅p23,p15⋅p25p_1^{17} \cdot p_2^1,\quad p_1^{11} \cdot p_2^2,\quad p_1^8 \cdot p_2^3,\quad p_1^5 \cdot p_2^5
  • p18⋅p21⋅p31,p15⋅p22⋅p31,p13⋅p22⋅p32p_1^8 \cdot p_2^1 \cdot p_3^1,\quad p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1, \quad p_1^3 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2
  • p12⋅p22⋅p31⋅p41p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1 \cdot p_4^1

Dintre acestea, numere divizivile cu 20182018 pot fi doar cele de pe ultimele două rânduri. Numărul minim se obține pentru p1=2, p2=3p_1=2, ~p_2=3 și p3=7,p_3=7, iar acesta va fi p15⋅p22⋅p31=25⋅32⋅71=2016.p_1^5 \cdot p_2^2 \cdot p_3^1=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 2016.

Metoda 2 Cum 10081008 este unul dintre divizori, înseamnă că descompunerea lui nn va conține factorii 24,32,71,2^4, 3^2, 7^1, care au 5⋅3⋅2=305 \cdot 3 \cdot 2 = 30 divizori. Descompunerea lui nn nu poate conține puterea unui alt număr prim fiindcă în acest caz nn ar avea minim 5⋅3⋅2⋅2=605 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60 divizori. Prin urmare, singura soluție de a ajunge de la 3030 la 3636 divizori este să creștem una din puteri. Cum nn trebuie să fie cât mai mic, vom începe cu creșterea puterilor lui 2.2.
Pentruu n=25⋅32⋅7n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 obținem 6⋅3⋅2=366 \cdot 3 \cdot 2 = 36 divizori ⇒n=25⋅32⋅7=2016.\Rightarrow n=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2016.