Numere prime. Numere compuse

Numere prime. Numere compuse

Definiții

Un număr natural care are exact doi divizori se numește număr prim.
Un număr natural, mai mare decât 1, care are cel puțin trei divizori, se numește număr compus.

Observații:

  • Numerele 00 și 11 nu sunt nici prime, nici compuse;
  • 22 este singurul număr prim par.

Ultima cifră a unui număr prim

Dacă pp este un număr prim, cu p≠2p\not=2 și p≠5,p \not=5, atunci:

  • Uc(p)∈{1,3,7,9};U_c(p) \in \{1,3,7,9\};
  • Uc(p2)∈{1,9};U_c(p^2) \in \{1,9\};
  • Uc(p4)=1U_c(p^4)=1

Observăm că 22 și 55 sunt singurele numere prime care se termină în 2,2, respectiv 5.5. Din acest motiv, în probleme, de multe ori este util să se trateze separat cazurile p=2p=2 și p=5.p=5.

Numere Mercene

Numerele prime de forma 2n−12^n-1 se numesc numere Mercene. Aceste numere au proprietatea că dacă 2n−12^n-1 este un număr prim (număr Mercene), atunci și nn este prim.

Nivel introductiv

E.422. Fie pp un număr prim mai mare decât 5.5. Determinați ultima cifră a numărului p4k,p^{4k}, unde k∈N.k \in \N.

Mate2000 excelență, 8/23
Răspuns | Soluție

Răspuns: Uc(p)=1.U_c(p)=1.

Soluție:

Dacă pp este un număr prim, cu p≠2p\not=2 și p≠5,p \not=5, atunci:

  • Uc(p)∈{1,3,7,9};U_c(p) \in \{1,3,7,9\};
  • Uc(p2)∈{1,9};U_c(p^2) \in \{1,9\};
  • Uc(p4)=1U_c(p^4)=1

Deci, în cazul nostru, Uc(p)=1.U_c(p)=1.

E.423. Arătați că numărul n=2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31+237+1n=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 + 2^{37}+1 este compus.

Mate2000 excelență, 15/26
Soluție
Soluție:

Numărul este impar, deci căutăm divizorii impari ai lui n.n. Verifică pentru 33.
n=M3+237+1=M3+(3−1)37+1=M3+(M3+1)−1=M3.n = M_3 + 2^{37} + 1 = M_3 + (3-1)^{37} + 1 = M_3 + (M_3 + 1) - 1 = M_3.
Cum nn este un multiplu de 33 și n>3,n>3, rezultă că nn este număr compus.

E.424. Aflați numerele prime de forma abc‾,\overline{abc}, știind că a⋅bc‾=c⋅ba‾+10.a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba}+10.

Mate2000 excelență, 19/27
Răspuns | Soluție

Răspuns: abc‾=211.\overline{abc}=211.

Soluție:

Egalitatea este echivalentă cu b(a−c)=1.b(a-c)=1.
Deci b=1b=1 și (a,c)∈{(1;0),(2;1),(3;2),(4;3),(5;4),(6;5),(7;6),(8;7),(9;8)}.(a,c) \in \{(1;0), (2;1), (3;2), (4;3), (5;4), (6;5), (7;6), (8;7), (9;8) \}.
Perechile în care cc este par nu convin deoarece abc‾\overline{abc} este prim.
Din mulțimea {211,413,615,817}, 413⋮7,615⋮5, 817⋮19,\{211, 413, 615, 817 \},~ 413 \vdots 7, 615 \vdots 5,~817 \vdots 19, deci abc‾=211.\boxed{\overline{abc}=211}.

E.425. Aflați numărul abc‾,\overline{abc}, știind că cifrele sale sunt numere prime care verifică egalitatea ab‾+53⋅ac‾+bc‾=2020.\overline{ab} + 53 \cdot \overline{ac} + \overline{bc}=2020.

Olimpiadă, etapa locală, Alba, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: abc‾=327.\overline{abc}=327.

Soluție:

Egalitatea data este echivalentă cu 540⋅a+11⋅b+54⋅c=2020.540 \cdot a + 11 \cdot b + 54 \cdot c = 2020.
Observăm că bb este par ⇒b=2.\Rightarrow \boxed{b=2}.
540⋅a+54⋅c=1998.540 \cdot a + 54 \cdot c = 1998.
54⋅ac‾=1998⇒ac‾=37.54 \cdot \overline{ac} = 1998 \Rightarrow \boxed{\overline{ac}=37}. Deci abc‾=327.\boxed{\overline{abc} = 327}.

E.426. Determinați numerele naturale prime a,b,c,da,b,c,d pentru care avem: 2a+5b+50c+250d=2020.2a+5b+50c+250d=2020.

Olimpiadă, etapa locală, Alba, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: abcd‾=5257.\overline{abcd}=5257.

Soluție:

Observăm că aa trebuie să fie un multiplu de 5,5, deci a=5.\boxed{a=5}.
b+10c+50d=402.b+10c+50d=402.
Observăm că bb trebuie să fie un multiplu de 2,2, deci b=2.\boxed{b=2}.
c+5d=40⇒c=5c+5d=40 \Rightarrow \boxed{c=5} și d=7.\boxed{d=7}.

E.427. Determinați numărul prim pp și numărul natural q,q, astfel încât p2+5p+31=3181q.p^2+5^p+31=3181^q.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2020
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Uc(3181q)=1⇒Uc(p2+5q)=0.U_c(3181^q) = 1 \Rightarrow U_c(p^2+5^q) = 0.

Indicația 2: Uc(5p)=5⇒Uc(p2)=5⇒p=5.U_c(5^p)=5 \Rightarrow U_c(p^2)=5 \Rightarrow p=5.

Răspuns: p=5, q=1.p=5,~ q=1.

Soluție:

Uc(3181q)=1⇒Uc(p2+5q)=0.U_c(3181^q) = 1 \Rightarrow U_c(p^2+5^q) = 0.
Dar Uc(5p)=5⇒Uc(p2)=5⇒p=5.U_c(5^p)=5 \Rightarrow U_c(p^2)=5 \Rightarrow \boxed{p=5}.
52+55+31=3181q⇒q=1.5^2+5^5 + 31 = 3181^q \Rightarrow \boxed{q=1}.

E.428. Se consideră cifrele nenule a,b,ca,b,c pentru care expresia ab‾+bc‾+ca‾−abc‾\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} - \overline{abc} are valoare maximă. Deomonstrați că numărul abc‾\overline{abc} este prim.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Numărul b+c⋅10−a⋅89b + c \cdot 10 - a \cdot 89 are valoare maximă dacă bb și cc au valoare maximă și aa valoare minimă.

Răspuns: abc‾=199.\overline{abc}=199.

Soluție:

ab‾+bc‾+ca‾−abc‾=b+c⋅10−a⋅89.\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} - \overline{abc} = b + c \cdot 10 - a \cdot 89. Acest număr are valoare maximă dacă:

  • bb are valoare maximă, adică b=9;\boxed{b=9};
  • cc are valoare maximă, adică c=9;\boxed{c=9};
  • aa are valoare minimă, adică a=1.\boxed{a=1}.

Deci abc‾=199,\overline{abc}=199, care este un număr prim.

E.429. Arătați că numărul n=20142013+20122013n=2014^{2013} + 2012^{2013} admimte cel puțin 33 divizori numere prime.

Mate2000 excelență, 1/32
Soluție
Soluție:

n=(2013+1)2013+(3013−1)2013=M2013+1+M2013−1=M2013.n=(2013+1)^{2013} + (3013-1)^{2013} = M_{2013}+1 + M_{2013} - 1 = M_{2013}.
Cum 2013=3⋅11⋅612013=3 \cdot 11 \cdot 61 (toate numere prime), rezultă concluzia.

E.455. Arătați că nu exista numerele abc‾\overline{abc} și xy‾,\overline{xy}, astfel încât abc‾\overline{abc} să fie prim și abc‾−xy‾=5(a+b+c+x+y).\overline{abc} - \overline{xy} = 5(a+b+c+x+y).

Olimpiadă, etapa locală, Gorj, 2020
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Se arată că a+b+ca+b+c este un multiplu de 3,3, deci abc‾\overline{abc} este un multiplu de 3.3.

Soluție:

100a+10b+c−10x−y=5a+5b+5c+5x+5y.100a+10b+c-10x-y = 5a+5b+5c+5x+5y.
95a+5b=4c+15x+6y95a+5b = 4c+15x+6y
Adunăm a+ba+b în ambii termeni:
96a+6b=a+b+c+3c+15x+6y⇒a+b+c=M3⇒abc‾96a+6b = a+b+c +3c+15x+6y \Rightarrow a+b+c = M_3 \Rightarrow \overline{abc} este divizibil cu 33 (fals).
În concluzie, nu există abc‾\overline{abc} și xy‾\overline{xy} în condițiile din ipoteză.

Nume CreatLa (UTC)
Tema5: Numere prime. Numere compuse 20-11-2024 12:47