Exercițiul 427

E.427. Determinați numărul prim pp și numărul natural q,q, astfel încât p2+5p+31=3181q.p^2+5^p+31=3181^q.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2020
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Uc(3181q)=1⇒Uc(p2+5q)=0.U_c(3181^q) = 1 \Rightarrow U_c(p^2+5^q) = 0.

Indicația 2: Uc(5p)=5⇒Uc(p2)=5⇒p=5.U_c(5^p)=5 \Rightarrow U_c(p^2)=5 \Rightarrow p=5.

Răspuns: p=5, q=1.p=5,~ q=1.

Soluție:

Uc(3181q)=1⇒Uc(p2+5q)=0.U_c(3181^q) = 1 \Rightarrow U_c(p^2+5^q) = 0.
Dar Uc(5p)=5⇒Uc(p2)=5⇒p=5.U_c(5^p)=5 \Rightarrow U_c(p^2)=5 \Rightarrow \boxed{p=5}.
52+55+31=3181q⇒q=1.5^2+5^5 + 31 = 3181^q \Rightarrow \boxed{q=1}.