Exercițiul 423

E.423. Arătați că numărul n=2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31+237+1n=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 + 2^{37}+1 este compus.

Mate2000 excelență, 15/26
Soluție
Soluție:

Numărul este impar, deci căutăm divizorii impari ai lui n.n. Verifică pentru 33.
n=M3+237+1=M3+(3−1)37+1=M3+(M3+1)−1=M3.n = M_3 + 2^{37} + 1 = M_3 + (3-1)^{37} + 1 = M_3 + (M_3 + 1) - 1 = M_3.
Cum nn este un multiplu de 33 și n>3,n>3, rezultă că nn este număr compus.