Exercițiul 424

E.424. Aflați numerele prime de forma abc‾,\overline{abc}, știind că a⋅bc‾=c⋅ba‾+10.a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba}+10.

Mate2000 excelență, 19/27
Răspuns | Soluție

Răspuns: abc‾=211.\overline{abc}=211.

Soluție:

Egalitatea este echivalentă cu b(a−c)=1.b(a-c)=1.
Deci b=1b=1 și (a,c)∈{(1;0),(2;1),(3;2),(4;3),(5;4),(6;5),(7;6),(8;7),(9;8)}.(a,c) \in \{(1;0), (2;1), (3;2), (4;3), (5;4), (6;5), (7;6), (8;7), (9;8) \}.
Perechile în care cc este par nu convin deoarece abc‾\overline{abc} este prim.
Din mulțimea {211,413,615,817}, 413⋮7,615⋮5, 817⋮19,\{211, 413, 615, 817 \},~ 413 \vdots 7, 615 \vdots 5,~817 \vdots 19, deci abc‾=211.\boxed{\overline{abc}=211}.