Exercițiul 428

E.428. Se consideră cifrele nenule a,b,ca,b,c pentru care expresia ab‾+bc‾+ca‾−abc‾\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} - \overline{abc} are valoare maximă. Deomonstrați că numărul abc‾\overline{abc} este prim.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Numărul b+c⋅10−a⋅89b + c \cdot 10 - a \cdot 89 are valoare maximă dacă bb și cc au valoare maximă și aa valoare minimă.

Răspuns: abc‾=199.\overline{abc}=199.

Soluție:

ab‾+bc‾+ca‾−abc‾=b+c⋅10−a⋅89.\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} - \overline{abc} = b + c \cdot 10 - a \cdot 89. Acest număr are valoare maximă dacă:

  • bb are valoare maximă, adică b=9;\boxed{b=9};
  • cc are valoare maximă, adică c=9;\boxed{c=9};
  • aa are valoare minimă, adică a=1.\boxed{a=1}.

Deci abc‾=199,\overline{abc}=199, care este un număr prim.