Exercițiul 455

E.455. Arătați că nu exista numerele abc‾\overline{abc} și xy‾,\overline{xy}, astfel încât abc‾\overline{abc} să fie prim și abc‾−xy‾=5(a+b+c+x+y).\overline{abc} - \overline{xy} = 5(a+b+c+x+y).

Olimpiadă, etapa locală, Gorj, 2020
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Se arată că a+b+ca+b+c este un multiplu de 3,3, deci abc‾\overline{abc} este un multiplu de 3.3.

Soluție:

100a+10b+c−10x−y=5a+5b+5c+5x+5y.100a+10b+c-10x-y = 5a+5b+5c+5x+5y.
95a+5b=4c+15x+6y95a+5b = 4c+15x+6y
Adunăm a+ba+b în ambii termeni:
96a+6b=a+b+c+3c+15x+6y⇒a+b+c=M3⇒abc‾96a+6b = a+b+c +3c+15x+6y \Rightarrow a+b+c = M_3 \Rightarrow \overline{abc} este divizibil cu 33 (fals).
În concluzie, nu există abc‾\overline{abc} și xy‾\overline{xy} în condițiile din ipoteză.