Exercițiul 533

E.533. Determinați numărul natural nn de forma n=3a⋅5b,n=3^a \cdot 5^b, unde a,b∈N,a,b \in \N, știind că numărul 3n3n are cu patru divizori mai mulți decât numărul n,n, iar numărul 5n5n are cu cinci divizori mai mulți decât n.n.

Iuliana Trașcă, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=34⋅53.n=3^4 \cdot 5^3.

Soluție:
n=3a⋅5b⇒{3n=3a+1⋅5b5n=3a⋅5b+1 n=3^a \cdot 5^b \Rightarrow \begin{cases} 3n=3^{a+1} \cdot 5^b \\ 5n=3^a \cdot 5^{b+1} \end{cases}
(a+2)(b+1)=4+(a+1)(b+1)(a+1)(b+2)=5+(a+1)(b+1)}⇒a=4,b=3⇒n=34⋅53. \begin{rcases} (a+2)(b+1)=4+(a+1)(b+1) \\ (a+1)(b+2)=5+(a+1)(b+1) \end{rcases} \Rightarrow \boxed{a=4,b=3} \Rightarrow \boxed{n=3^4 \cdot 5^3}.