Exercițiul 529

E.529. Determinați numărul natural nn care admite exact 44 divizori naturali, știind că produsul divizorilor este 2601.2601.

Olimpiadă, etapa locală, Constanța, 2017; Concurs "Alexandru Papiu-Ilarian", Târgu-Mureș, 2017
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=51.n=51.

Soluție:

2601=32⋅172.2601 = 3^2\cdot 17^2. Dacă nn are 44 divizori înseamnă că este de forma p3,p^3, sau p11⋅p21,p_1^1 \cdot p_2^1, cu p, p1, p2p,~p_1,~p_2-numere prime.

  • Dacă n=p3,n=p^3, atunci Dn∈{1,p,p2,p3}⇒D_n \in \{1, p, p^2, p^3\} \Rightarrow produsul divizorilor =p6≠2601.=p^6 \not=2601.
  • Dacă n=p1⋅p2,n=p_1 \cdot p_2, atunci Dn∈{1,p1,p2,p1⋅p2}⇒D_n \in \{1, p_1, p_2, p_1 \cdot p_2\} \Rightarrow produsul divizorilor =p12⋅p22=2601=32⋅172⇒n=3⋅17=51.=p_1^2 \cdot p_2^2=2601 = 3^2\cdot 17^2 \Rightarrow \boxed{n=3 \cdot 17 = 51}.