Exercițiul 520

E.520. Fie n=pa⋅qbn=p^a \cdot q^b descompunerea numărului natural nn în produs de puteri de numere prime. Demonstrați că numărul divizorilor naturali ai numărului nn este d(n)=(a+1)(b+1).d(n)=(a+1)(b+1).

Soluție
Soluție:

Notăm pa=Ap^a=A și qb=B.q^b=B. Divizorii celor două numere sunt:

  • DA={1,p1,p2,…,pa}⇒a+1D_{A}=\{1, p^1, p^2, \ldots, p^a\} \Rightarrow a+1 elemente;
  • DB={1,q1,q2,…,qb}⇒b+1D_{B}=\{1, q^1, q^2, \ldots, q^b\} \Rightarrow b+1 elemente;

Divizorii produsului A⋅BA \cdot B vor fi toate produsele posibile care se pot forma cu elementele celor două mulțimi. Folosind regula produsului, obținem d(n)=(a+1)(b+1).\boxed{d(n) = (a+1)(b+1)}.