Exercițiul 526

E.526. Fie numărul N=aaba‾+bbcb‾+ccac‾,N=\overline{aaba} + \overline{bbcb} + \overline{ccac}, unde a,b,ca,b,c sunt cifre nenule în baza zece. Să se afle numărul minim și numărul maxim de divizori ai lui N.N.

Emanuel Munteanu, Olimpiadă, etapa locală, Brașov, 2013
Răspuns | Soluție

Răspuns: dmin(N)=6; dmax(N)=32.d_{min}(N)=6;~ d_{max}(N)=32.

Soluție:

N=(a+b+c)⋅11⋅101.N=(a+b+c) \cdot 11 \cdot 101. Numărul final de divizori este influențat de valoarea lui S=a+b+c.S=a+b+c.
Dar SS este un număr cuprins între 33 și 27,27, și poate fi de forma:

  • p14p13,p12,p11⇒dmax(S)=5;p_1^4 \quad p_1^3, \quad p_1^2, \quad p_1^1 \Rightarrow d_{max}(S)=5;
  • p13⋅p21=23⋅3⇒d(S)=4⋅2=8;p_1^3 \cdot p_2^1 = 2^3 \cdot 3 \Rightarrow d(S)=4 \cdot 2=8;
  • p12⋅p21⇒d(S)=3⋅2=6;p_1^2 \cdot p_2^1 \Rightarrow d(S)=3 \cdot 2=6;

Așadar

  • Pentru a+b+c=11a+b+c = 11 avem N=112⋅1011⇒dmin(N)=3⋅2=6;N=11^2 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{min}(N)=3\cdot 2 = 6};
  • Pentru a+b+c=23⋅3a+b+c= 2^3 \cdot 3 avem N=23⋅31⋅111⋅1011⇒dmax(N)=4⋅2⋅2⋅2=32;N=2^3 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 101^1 \Rightarrow \boxed{d_{max}(N)=4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32};