Exercițiul 535

E.535. Fie aa și bb două numere naturale mai mari sau egale cu 2.2. Dacă aa și bb au același număr de divizori și produsul divizorilor primului număr este egal cu produsul divizorilor celui de-al doilea număr, atunci cele două numere sunt egale.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Dacă d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k sunt toți divizorii naturali ai unui număr n,n, atunci {d1,d2,…,dk}={nd1,nd2,…,ndk}.\{d_1,d_2, \ldots,d_k\} = \Big\{\dfrac{n}{d_1},\dfrac{n}{d_2}, \ldots,\dfrac{n}{d_k}\Big\}.

Indicația 2: Din egalitatea celor două mulțimi rezultă relația (d1⋅d2⋅…⋅dk)2=nk.(d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k)^2 = n^k.

Soluție:

Dacă d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k sunt toți divizorii naturali ai unui număr n,n, atunci {d1,d2,…,dk}={nd1,nd2,…,ndk}.\{d_1,d_2, \ldots,d_k\} = \Big\{\dfrac{n}{d_1},\dfrac{n}{d_2}, \ldots,\dfrac{n}{d_k}\Big\}. Din egalitatea celor două mulțimi rezultă relația (d1⋅d2⋅…⋅dk)2=nk.\boxed{(d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k)^2 = n^k}.

Fie e1,e2,…,eke_1,e_2, \ldots, e_k și f1,f2,…,fkf_1,f_2, \ldots, f_k toți divizorii naturali ai numărului a,a, respectiv b.b. Atunci:

(e1⋅e2⋅…⋅ek)2=ak(f1⋅f2⋅…⋅fk)2=bk}⇒ak=bk⇒a=b. \begin{rcases} (e_1 \cdot e_2 \cdot \ldots \cdot e_k)^2 = a^k \\ (f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_k)^2 = b^k \end{rcases} \Rightarrow a^k=b^k \Rightarrow \boxed{a=b}.