Exercițiul 532

E.532. Dacă n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n,n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, câți divizori de forma k3, k∈N∗,k^3,~ k \in \N^*, are numărul A=3!⋅5!⋅7!⋅9!?A=3! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9!?

Concursul "Cristian Calude", Galați, 2016
Răspuns | Soluție

Răspuns: 36.36.

Soluție:

După calcule, A=215⋅38⋅53⋅72.A=2^{15} \cdot 3^8 \cdot 5^3 \cdot 7^2.
Notăm 23=a, 33=b, 53=c⇒A=a5⋅b2⋅c1⋅32⋅72.2^3=a,~ 3^3=b,~5^3=c \Rightarrow \boxed{A=a^5 \cdot b^2 \cdot c^1 \cdot 3^2 \cdot 7^2}.
Numărul divizorilor de forma k3k^3 ai numărului AA este egal cu numărul divizorilor numărului a5⋅b2⋅c1,a^5 \cdot b^2 \cdot c^1, adică 6⋅3⋅2=366 \cdot 3 \cdot 2 = 36 divizori (inclusiv 1,1, pentru că și 1=131=1^3).