Exercițiul 534

E.534. Fie n=pa⋅qbn=p^a \cdot q^b descompunerea numărului natural nn în produs de puteri de numere prime. Demonstrați că suma divizorilor naturali ai numărului nn este S(n)=pa+1−1p−1⋅qb+1−1q−1.S(n)=\dfrac{p^{a+1}-1}{p-1} \cdot \dfrac{q^{b+1}-1}{q-1}.

Soluție
Soluție:

Notăm pa=Ap^a=A și qb=B.q^b=B. Divizorii celor două numere sunt:

  • DA={1,p1,p2,…,pa};D_{A}=\{1, p^1, p^2, \ldots, p^a\};
  • DB={1,q1,q2,…,qb}.D_{B}=\{1, q^1, q^2, \ldots, q^b\}.

Suma divizorii produsului A⋅BA \cdot B va fi egală cu suma următoarelor linii:

  • 1⋅1+1⋅q1+1⋅q2+…+1⋅qb=1(1+q1+q2+…+qb);1 \cdot 1 + 1 \cdot q^1 + 1 \cdot q^2 + \ldots + 1 \cdot q^b = 1(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b);
  • p1⋅1+p1⋅q1+p1⋅q2+…+p1⋅qb=p1(1+q1+q2+…+qb);p^1 \cdot 1 + p^1 \cdot q^1 + p^1 \cdot q^2 + \ldots + p^1 \cdot q^b = p^1(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b);
  • ...
  • pa⋅1+pa⋅q1+pa⋅q2+…+pa⋅qb=pa(1+q1+q2+…+qb).p^a \cdot 1 + p^a \cdot q^1 + p^a \cdot q^2 + \ldots + p^a \cdot q^b = p^a(1+q^1+q^2+ \ldots + q^b).

Deci S(n)=S(A⋅B)=(1+q1+q2+…+qb)(1+p1+p2+…+pa)=pa+1−1p−1⋅qb+1−1q−1.S(n)=S(A \cdot B) = (1+q^1+q^2+ \ldots + q^b)(1+p^1+p^2+ \ldots + p^a) = \dfrac{p^{a+1}-1}{p-1} \cdot \dfrac{q^{b+1}-1}{q-1}.