Înlocuim pe z în (1) și (2):
{4x+6y+8⋅50=7403x+4y+5⋅50=485⇔{4x+6y=340∣⋅33x+4y=235∣⋅4⇔{12x+18y=102012x+16y=940⇒(−)2y=80⇒y=40.4x+6⋅40=340⇒x=25.
E.607. La o florărie, 7 lalele, 5 trandafiri și 3 gladiole costă 57 lei, 5 lalele și 3 trandafiri costă 25 lei, iar 2 trandafiri și 5 gladiole costă 40 lei. Cât costă o lalea, cât costă un trandafir și cât costă o gladiolă.
Răspuns: O lalea 2 lei, un trandafir 5 lei, o gladiolă 6 lei.
Soluție:
Notăm cu l,t,g numărul de lalele, trandafiri, respectiv gladiole.
Eliminăm necunoscuta t:
⎩⎨⎧7l+5l+5t+3g3t2t+5g=57∣⋅3⋅2=25∣⋅5⋅2=40∣⋅5⋅3⇔⎩⎨⎧42l+50l+30t+18g30t30t+75g=342(1)=250(2)=600(3)
E.608. Iulia și Ștefan au cumpărat de la chioșcul alimentar al școlii produse de patiserie pentru ei și pentru colegii din clasă. Iulia a cumpărat 5 plăcinte cu brânză, 2 ștrudele cu mere, 7 croissante și a plătit 26 de lei. Ștefan a cumpărat 3 plăcinte cu brânză, 2 ștrudele cu mere, 4 croissante și a plătit 17 lei. Cât costă fiecare produs de patiserie, dacă o plăcintă cu brânză este de trei ori mai scumpă decât un croissant?
E.609. Ilinca vrea să își invite prietenele și să le cumpere câte o ciocolată, un suc și o acadea. Știind că o ciocolată și un suc costă 7 lei, 3 ciocolate și 4 acadele costă 20 lei, iar 3 sucuri și 2 acadele costă 13 lei, aflați câte prietene își poate invita Ilinca, dacă are la dispoziție 50 de lei. Stabiliți dacă banii care îi mai rămân sunt suficienți pentru a cumpăra o ciocolată și un suc, pentru ea însăși.
O ciocolată, un suc și o acadea costă 4+3+2=9 lei. 50:9=5, rest 5.
Deci, din banii primiți, Ilinca își poate invita 5 prietene.
Banii rămași (5 lei) sunt insuficienți pentru a-și cumpăra o ciocolată (4 lei) și un suc (3 lei).
E.610. Ana cumpără 7 cărți, 3 caiete și 2 pixuri pentru care plătește 175 lei. Mihai cumpără 9 cărți și 5 pixuri și plătește 230 lei. George cumpără 8 caiete și 10 pixuri și plătește 140 lei. Toți cumpără același tip de cărți, caiete, respectiv pixuri.
a) Aflați cât costă în total o carte, un caiet și un pix.
b) Aflați cât costă o carte.
Răspuns: O carte - 20 lei, un caiet - 5 lei, un pix - 10 lei.
Soluție:
Notăm cu c,a,p numărul de cărți, caiete, respectiv pixuri.
⎩⎨⎧7c+3a+2p=175∣⋅59c+5p=230∣⋅28a+10p=140⇔⎩⎨⎧35c+15a+10p=875(1)18c+10p=460(2)8a+10p=140(3)
Revenim la sistemul inițial: 9⋅20+5p=230⇒p=10. 8a+10⋅10=140⇒a=5.
E.611.5 gutui cântăresc tot atât cât 9 mere, 7 mere cântăresc cât 8 pere, iar 9 pere cântăresc cât 10 portocale. Dacă pe un taler al unei balanțe așezăm 7 gutui, câte portocale trebuie să așezăm pe celălalt taler pentru ca balanța să fie în echilibru?
Notăm cu g,m,p,o greutatea unei gutui, mere, pere, respectiv portocale. Practic avem de exprimat greutatea unor gutui în funcție de greutatea unor portocale.
⎩⎨⎧5g=9m∣⋅77m=8p∣⋅99p=10o∣⋅8⇔⎩⎨⎧35g=63m63m=72p72p=80o⇒35g=80p∣:5⇒7g=16o.
E.612. Andrei, Bianca și Cristian merg la piață având 60 lei. Ei cumpără astfel: Andrei, 4kg de cartofi, 3 kg roșii și 1 kg vinete, Bianca, 6 Kg cartofi, 1 kg roșii și 3 kg vinete, iar Cristian, 8 kg cartofi, 4 kg roșii și 4 kg vinete. Bianca plătește cu 6 lei mai mult decât Andrei, iar Cristian cu 4 lei mai puțin decât Andrei și Bianca la un loc.
a) Aflați cât plătește fiecare copil pentru produsele cumpărate.
b) Aflați cât costă kilogramul din fiecare produs cumpărat.
Răspuns: a) Andrei 13 lei , Bianca 19 lei , Cristian 28 lei; b) 1 kg cartofi = 2 lei; 1 kg roșii = 1 leu; 1 kg vinete = 2 lei.
Soluție:
a) Notăm cu x,y,z cât plătește Andrei, Bianca, respectiv Cristian.
⎩⎨⎧x+y+z=60(1)y=x+6(2)z=x+y−4(3)
Din (1) și (3) ⇒x+y+(x+y−4)=60⇒x+y=32(4).
Din (2) și (4) ⇒x+(x+6)=32⇒x=13⇒(4)y=19⇒(3)z=28.
b) Notăm cu c,r,v cât costă un kilogram de cartofi, roșii, respectiv vinete.
⎩⎨⎧4c+3r+v=13(1)6c+r+3v=19(2)8c+4r+4v=28(3)⇒(1)+(2){10c+4r+4v=328c+4r+4v=28⇒(−)2c=4⇒c=2.
Înlocuim pe c în (1) și (2):
{4⋅8+3r+v=13(1)6⋅2+r+3v=19(2)⇔{3r+v=5∣⋅3r+3v=7⇔{9r+3v=15∣⋅3r+3v=7⇒(−)8r=8⇒r=1.1+3v=7⇒v=2.
E.613. Două tricouri, un fular și trei căciuli costă 89 lei, iar patru tricouri, șapte fulare și o căciulă costă 153 lei.
a) Aflați cât costă, la un loc, un tricou, un fular și o căciulă.
b) Cât costă fiecare dintre articole, știind că un fular costă cu 8 lei mai mult decât unu tricou, iar o căciulă costa cu 2 lei mai puțin decât fularul și tricoul la un loc?
a) Notăm cu t,f,c numărul de tricouri, fulare, respectiv căciuli.
{2t+f+3c=89∣⋅34t+7f+c=153⇔{6t+3f+9c=2674t+7f+c=153⇒(+)10(t+f+c)=420⇒t+f+c=42.
b) OBS: Punctul b poate fi rezolvat doar cu 3 din cele 4 informații oferite:
⎩⎨⎧2t+f+3c=894t+7f+c=153f=t+8⇔⎩⎨⎧2t+t+8+3c=894t+7(t+8)+c=153f=t+8⇔{3t+3c=81∣:311t+c=97⇔{t+c=2711t+c=97⇒(−)10t=70⇒t=7.7+c=27⇒c=20⇒f=15.
E.614. Un elev a cumpărat de la o librărie 5 pixuri, 4 creioane și 6 caiete pentru care a plătit 53 lei. A doua oară a cumpărat 4 pixuri, 5 creioane și 4 caiete pentru care a plătit 42 lei, iar a treia oară a cumpărat 9 pixuri, 9 creioane și 5 caiete pentru care a plătit 70 lei. Aflați cât costă un pix, un creion și un caiet.
Răspuns: Un pix - 3 lei, un creion - 2 lei, un caiet - 5 lei.
Soluție:
Notăm cu p,c,a prețul unui pix, al unui creion, respectiv al unui caiet.
⎩⎨⎧5p+4c+6a=53(1)4p+5c+4a=42(2)9p+9c+5a=70(3)⇒(1)+(2){9p+9c+10a=959p+9c+5a=70⇒(−)5a=25⇒a=5.
Înlocuim pe a în (1) și (2):
{5p+4c+6⋅5=534p+5c+4⋅5=42⇔{5p+4c=23∣⋅44p+5c=22∣⋅5⇔{20p+16c=9220p+25c=110⇒(−)9c=18⇒c=2.5p+4⋅2=23⇒p=3.
E.615. Pentru biblioteca unei școli s-au cumpărat 64 de cărți în valoare de 632 lei. Știind că prețul cărților este de 8 lei, 10 lei, respectiv 12 lei, iar numărul cărților de 10 lei este de două ori mai mare decât numărul cărților de 8 lei, aflați câte cărți s-au cumpărat de fiecare fel.
Răspuns:17 cărți cu 8 lei, 34 cărți cu 10 lei, 13 cărți cu 12 lei.
Soluție:
Notăm cu a,b,c numărul cărților cu 8 lei, 10 lei, respectiv 12 lei.
⎩⎨⎧8a+10b+12c=632a+b+c=64b=2a⇒b=2a{28a+12c=6323a+c=64∣⋅12⇔{28a+12c=63236a+12c=768⇒(−)8a=136⇒a=17.3⋅17+c=64⇒c=13. b=2⋅17⇒b=34.
E.617. La intrarea în Aventura-Park se plătesc 245 lei pentru 3 bilete de adult și 7 bilete de copil, iar pentru 5 bilete de adult și 4 bilete de copil se plătesc 255 lei. Aflați prețul unui bilet de adult și prețul unui bilet de copil.
Notăm cu a și c prețul unui bilet pentru un adult, respectiv pentru un copil.
{3a+7c=245⋅55a+4c=255⋅3⇔{15a+35c=122515a+12c=765⇒(−)23c=460⇒c=20.3a+7⋅20=245⇒a=35.
E.618. Se știe că 3 kg de caise și 5 kg de prune costă împreună cât 14 kg de mere, iar 6 kg de caise cu 7 kg de mere costă cât 15 kg de prune.
a) Pot avea cele trei tipuri de fructe același preț pe kilogram? Justificați.
b) Dacă un kg de mere este mai ieftin decât un kg de caise, comparați prețul unui kg de prune cu al unui kg de caise.
c) Câte kilograme de caise se pot cumpăra cu banii pe care i-am da cumpărând 15 kg de prune și 14 kg de mere?
Dumitru Dobre, Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2018
Notăm cu c,p,m prețul unui kg de caise, prune, respectiv mere.
{3c+5p=14m6c+7m=15pa) Dacă c=p=m=x, atunci din prima egalitate avem 3x+5x=14x - imposibil. Deci cele trei tipuri de fructe nu pot avea același preț pe kilogram.
b) Exprimăm valoarea prunelor în funcție de valoarea caiselor:
{3c+5p=14m6c+7m=15p∣⋅2⇔{3c+5p=14m12c+14m=30p⇒12c+3c+5p=30p⇒25p=15c(1)⇒p<c.
c Exprimăm valoarea merelor în funcție de valoarea prunelor:
{3c+5p=14m∣⋅26c+7m=15p⇔{6c+10p=28m6c+7m=15p⇒10p−7m=28m−15p⇒25p=35m⇒5p=7m⇒14m=10p.15p+14m=15p+10p=25p=(1)15c.
E.619. Un țăran a primit pentru 2 gâște și 3 rațe 1225 lei. Altă dată, vânzând la același preț, a primit pentru 3 gâște și 5 rațe 1950 lei. Care este prețul unei gâște? Dar al unei rațe?
Notăm cu g și r prețul unei gâște, respectiv prețul unei rațe.
{2g+3r=1225⋅33g+5r=1950⋅2⇔{5g+9r=36755g+10r=3900⇒(−)r=225.2g+3⋅225=1225⇒g=275.
E.620. Radu și Maria au cumpărat rechizite de la librărie. Radu a cumpărat 3 caiete, 1 radieră, 5 pixuri și a plătit 19 lei. Maria a cumpărat 4 caiete, 1 radieră, 7 pixuri și a plătit 25 de lei. Cât costă fiecare articol, dacă un caiet este de patru ori mai scump decât un pix?
Răspuns: Un caiet - 4 lei, o radieră - 2 lei, un pix - 1 leu.
Soluție:
Notăm cu c,r,p numărul de caiete, radiere, respectiv pixuri.
⎩⎨⎧3c+r+5p=194c+r+7p=25c=4p
Înlocuim pe c în primele două relații:
{3⋅4p+r+5p=194⋅4p+r+7p=25⇔{17p+r=1923p+r=25⇒(−)6p=6⇒p=1.17⋅1+r=19⇒r=2. c=4⋅1⇒c=4.
E.621. Într-o școală se schimbă mobilierul și se cumpără 6 dulapuri, 52 mese și 100 de scaune noi. O masă, un scaun și un dulap costă 722 lei. Dacă masa este cu 95 de lei mai ieftină decât un dulap, iar un scaun costă cu 18 lei mai puțin decât o masă, calculați suma de bani necesară achiziționării întregului mobilier.
Răspuns: Un dulap - 310 lei, o masă - 215 lei, un scaun - 197 lei. În total s-a plătit 32.740 lei.
Soluție:
Notăm cu d,m,s prețul unui dulap, al unei mese, respectiv al unui scaun.
⎩⎨⎧d+m+s=722m=d−95s=m−18⇔⎩⎨⎧d+m+s=722m=d−95s=d−95−18d+(d−95)+(d−95−18)=722 3d=722+95+95+18⇒d=310.
m=310−95⇒m=215. s=215−18⇒s=197.
În total, s-a plătit 6⋅310+52⋅215+100⋅197=32.740 lei.