Exercițiul 618

E.618. Se știe că 33 kg de caise și 55 kg de prune costă împreună cât 1414 kg de mere, iar 66 kg de caise cu 77 kg de mere costă cât 1515 kg de prune.
a) Pot avea cele trei tipuri de fructe același preț pe kilogram? Justificați.
b) Dacă un kg de mere este mai ieftin decât un kg de caise, comparați prețul unui kg de prune cu al unui kg de caise.
c) Câte kilograme de caise se pot cumpăra cu banii pe care i-am da cumpărând 1515 kg de prune și 1414 kg de mere?

Dumitru Dobre, Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) nu; b) p<c;p<c; c) 1515 kg caise.

Soluție:

Notăm cu c,p,mc,p,m prețul unui kg de caise, prune, respectiv mere.

{3c+5p=14m6c+7m=15p \begin{cases} 3c+5p = 14m \\ 6c+7m=15p \end{cases}
a) Dacă c=p=m=x,c=p=m=x, atunci din prima egalitate avem 3x+5x=14x3x+5x=14x - imposibil. Deci cele trei tipuri de fructe nu pot avea același preț pe kilogram.

b) Exprimăm valoarea prunelor în funcție de valoarea caiselor:

{3c+5p=14m6c+7m=15p∣⋅2⇔{3c+5p=14m12c+14m=30p⇒12c+3c+5p=30p⇒25p=15c (1)⇒p<c. \begin{cases} 3c+5p = 14m \\ 6c+7m=15p \quad | \cdot 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3c+5p = 14m \\ 12c+14m=30p \end{cases}\Rightarrow 12c+3c+5p = 30p \Rightarrow \boxed{25p=15c}~(1) \Rightarrow \boxed{p<c}.

c Exprimăm valoarea merelor în funcție de valoarea prunelor:

{3c+5p=14m∣⋅26c+7m=15p⇔{6c+10p=28m6c+7m=15p⇒10p−7m=28m−15p⇒25p=35m⇒5p=7m⇒14m=10p. \begin{cases} 3c+5p = 14m \quad | \cdot 2 \\ 6c+7m=15p \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6c+10p = 28m \\ 6c+7m=15p \end{cases}\Rightarrow 10p-7m=28m-15p \Rightarrow25p=35m \Rightarrow5p= 7m \Rightarrow \boxed{14m=10p}.
15p+14m=15p+10p=25p=(1)15c.15p+14m =15p+10p = 25p \overset{(1)}{=} 15c.