Exercițiul 610

E.610. Ana cumpără 77 cărți, 33 caiete și 22 pixuri pentru care plătește 175175 lei. Mihai cumpără 99 cărți și 55 pixuri și plătește 230230 lei. George cumpără 88 caiete și 1010 pixuri și plătește 140140 lei. Toți cumpără același tip de cărți, caiete, respectiv pixuri.
a) Aflați cât costă în total o carte, un caiet și un pix.
b) Aflați cât costă o carte.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2024; Vaslui 2023; Constanța 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: O carte - 2020 lei, un caiet - 55 lei, un pix - 1010 lei.

Soluție:

Notăm cu c,a,pc,a,p numărul de cărți, caiete, respectiv pixuri.

{7c+3a+2p=175∣⋅59c+5p=230∣⋅28a+10p=140⇔{35c+15a+10p=875(1)18c+10p=460(2)8a+10p=140(3) \begin{cases} 7c+3a+2p=175 \quad | \cdot 5 \\ 9c+5p=230 \quad | \cdot 2 \\ 8a+10p = 140 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 35c+15a+10p=875 \quad (1)\\ 18c+10p=460 \quad (2)\\ 8a+10p = 140 \quad (3) \end{cases}

{(1)−(2)⇒17c+15a=415(1)−(3)⇒35c+7a=735∣:7⇔{17c+15a=4157c+a=105∣⋅5⇔{17c+15a=41575c+15a=1575⇒(−)58c=1160⇒c=20. \begin{cases} (1)-(2) \Rightarrow 17c+15a=415 \\ (1)-(3) \Rightarrow 35c+7a = 735 \quad |:7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 17c+15a=415 \\ 7c+a = 105 \quad | \cdot 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 17c+15a=415\\ 75c+15a = 1575 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 58c=1160 \Rightarrow \boxed{c=20}.

Revenim la sistemul inițial:
9⋅20+5p=230⇒p=10.9 \cdot 20+5p=230 \Rightarrow \boxed{p=10}.
8a+10⋅10=140⇒a=5.8a+10 \cdot 10 =140 \Rightarrow \boxed{a=5}.