Metoda falsei ipoteze vs. metoda algebrică

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar găini. În acest caz avem $100$ de capete (deci $100$ de găini) și $100*2=200$ picioare. Asta înseamnă o nepotrivire de $320-200=120$ de picioare. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și iepuri).

Dacă înlocuim o găină cu un iepure, numărul de picioare va crește cu $4-2=2.$ Ca să acoperim diferența de $120$ de picioare, va trebui să facem $120:2=60$ înlocuiri. Așadar, vom avea $60$ de iepuri și $100-60=40$ de găini.

Metoda algebrică. Notăm cu $g$ și $i$ numărul de găini, respectiv iepuri.

$$\begin{cases} g+i=100\\ 2g+4i=320 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g+i=100\\ g+2i=160 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \boxed{i=60}.$$

$g+60=100 \Rightarrow \boxed{g=40}.$

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar apartamente cu două camere. În acest caz avem $14 \cdot 2 = 28$ de camere. Asta înseamnă o nepotrivire de $37-28=9$ camere. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și apartamente cu $3$ camere).

Dacă înlocuim un apartament cu $2$ camere cu unul cu $3$ camere, numărul de camere va crește cu $3-2=1.$ Ca să acoperim diferența de $9$ camere, va trebui să facem $9$ înlocuiri. Așadar, vom avea $9$ apartamente cu $3$ camere și $14-9=5$ apartamente cu $2$ camere.

Metoda algebrică. Notăm cu $d$ și $t$ numărul de apartamente cu două, respectiv cu trei camere.

$$\begin{cases} d+t=14 \quad | \cdot 2 \\ 2d+3t=37 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2d+2t=28 \quad | \cdot 2 \\ 2d+3t=37 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} t=37-28 \Rightarrow \boxed{t=9}.$$

$d+9=14 \Rightarrow \boxed{d=5}.$

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că au participat doar copii ($240$ de copii). În acest caz, valoare biletelor ar fi $240 \cdot 8 = 1920$ lei. Asta înseamnă o nepotrivire de $2080-1920=160$ lei. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și adulți).

Dacă înlocuim un copil cu un adult, suma încasată va crește cu $12-8=4$ lei. Ca să acoperim diferența de $160$ de lei, va trebui să facem $160:4 = 40$ înlocuiri.

În concluzie, vom avea $40$ de adulți, iar aceștia vor plăti $40 \cdot 12 = 480$ lei.

Metoda algebrică. Notăm cu $a$ și $c$ numărul de adulți, respectiv numărul de copii.

$$\begin{cases} 12a + 8c = 2080 \\ a+c=240 \quad |\cdot 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 12a + 8c = 2080 \\ 8a+8c=1920 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 4a=160 \Rightarrow \boxed{a=40}.$$

Deci suma încasată de la adulți a fost $40 \cdot 12 = 480$ lei.

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că s-au folosit doar bancnote de $10$ lei ($48$ de bancnote). În acest caz, suma achitată ar fi $48 \cdot 10 = 480$ lei. Asta înseamnă o nepotrivire de $920-480=440$ lei. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și bancnote de $50$ de lei).

Dacă înlocuim o bancnotă de $50$ cu una de $10$, suma achitată va crește cu $50-10=40$ lei. Ca să acoperim diferența de $440$ de lei, va trebui să facem $440:40 = 11$ înlocuiri.

În concluzie, vom avea $11$ bancnote de $50$ de lei.

Metoda algebrică. Notăm cu $c$ și $z$ numărul bancnotelor de $50$, respectiv $10$ lei.

$$\begin{cases} 50c+10z=920 \quad |:10\\ c+z=48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5c+z=92 \\ c+z=48 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 4c=44 \Rightarrow \boxed{c=11}.$$

Metoda algebrică. Notăm cu $b$ și $p$ numărul de bărci, respectiv numărul total de persoane.

$$\begin{cases} p=4b+3 \\ p=5(b-2)+3 \end{cases} \Rightarrow 4b+3=5(b-2)+3 \Rightarrow \boxed{b=10}.$$

$p=4 \cdot 10 + 3 \Rightarrow \boxed{p=43}.$

Metoda falsei ipoteze.
Prima ipoteză. Presupunem că avem $3^*$ bărci. Atunci în prima repartizare vom avea $3 \cdot 4+3=15$ persoane, iar în a doua repartizare vom avem $1 \cdot 5+3=8$ persoane. Apare o nepotrivire de $15-8=7$ persoane.

A doua ipoteză. Presupunem că avem $3+1=4$ bărci. Atunci în prima repartizare vom avea $4\cdot 4+3=19$ persoane, iar în a doua repartizare vom avem $2 \cdot 5+3=13$ persoane. Apare o nepotrivire de $19-13=6$ persoane.

Constatăm că, mărind numărul bărcilor cu $1$, numărul persoanelor scade cu $1.$ Deci, pentru a recupera nepotrivirea de $7$ persoane, trebuie ca la presupunerea inițială să creștem numărul bărcilor cu $7.$ Prin urmare, avem $3+7=10$ bărci și $10 \cdot 4 + 3=43$ persoane.

(*) Pentru prima ipoteză am ales $3$ bărci. Acest număr nu a fost ales întâmplător, ci reprezintă numărul minim de bărci care ne garantează că, indiferent de scenariu, avem cel puțin o barcă plină. Metoda ar fi funcționat cu orice număr mai mai mare sau egal cu $3.$

a) Deoarece $2$ și $4$ sunt numere pare, deducem ca numărul total de roți este tot un număr par, deci nu poate fi egal cu $121.$

b) Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar motociclete. În acest caz avem $45 \cdot 2 = 90$ de roți. Asta înseamnă o nepotrivire de $122-90=32$ roți. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și autoturisme, care au $4$ roți).

Dacă înlocuim o motocicletă cu un autoturism, numărul de roți va crește cu $4-2=2.$ Ca să acoperim diferența de $32$ de roți, va trebui să facem $32:2=16$ înlocuiri. Așadar, vom avea $16$ autoturisme și $45-16=29$ motociclete.

b) Metoda algebrică. Notăm cu $m$ și $a$ numărul de motociclete, respectiv de autoturisme.

$$\begin{cases} m+a=45 \quad | \cdot 2 \\ 2m+4a=122 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2m+2a=90 \quad | \cdot 2 \\ 2m+4a=122 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 2a=122-90 \Rightarrow \boxed{a=16}.$$

$m+16=45 \Rightarrow \boxed{m=29}.$

a) Dacă elevul a răspuns corect la $32$ probleme, înseamnă că a greșit la $40-32=8.$ Prin urmare, punctajul obținut a fost $32 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = 144$ puncte.

b) Metoda falsei ipoteze. Presupunem că a răspuns corect la toate problemele. În acest caz ar fi obținut $40 \cdot 5 = 200$ de puncte. Asta înseamnă o nepotrivire de $200-102=98$ de puncte. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și răspunsuri greșite).

Dacă înlocuim un răspuns corect cu unul greșit, numărul de puncte va scade cu $5+2=7.$ Ca să acoperim diferența de $32$ de roți, va trebui să facem $98:7=14$ înlocuiri. Așadar, vom avea $14$ răspunsuri greșite și $40-14=26$ răspunsuri corecte.

b) Metoda algebrică. Notăm cu $c$ și $g$ numărul de răspunsuri corecte, respectiv greșite.

$$\begin{cases} c+g=40 \quad | \cdot 5 \\ 5c-2g=102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5c+5g=200 \\ 5c=102+2g \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 5g=200-102-2g \Rightarrow \boxed{g=14}.$$

$c+14=40 \Rightarrow \boxed{c=26}.$

Obs. Problema poate fi rezolvată cu oricare $3$ (din cele $4$) informații oferite. Prin urmare, alegem să nu folosim ultima informație.

Metoda falsei ipoteze. Ca un prim pas, încercăm să reducem problema la o altă problemă care să conțină doar două feluri de animale. În acest sens, observăm că dacă înlocuim curcanii cu rațe, numărul total de capete și de picioare nu se modifică.

Așadar, ca o primă ipoteză, presupunem că toți curcanii sunt rațe. În acest caz, problema poate fi reformulată astfel: "Bunica are rațe și iepuri, în total $60$ de capete și $180$ de picioare. Aflați câte sunt din fiecare".

Pentru a rezolva această nouă problemă, apelăm la o a doua ipoteză: presupunem că toți iepurii sunt rațe. În acest caz avem $60$ de capete (deci $60$ de rațe) și $60*2=120$ picioare. Asta înseamnă o nepotrivire de $180-120=60$ de picioare. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și iepuri).

Dacă înlocuim o rață cu un iepure, numărul de picioare va crește cu $4-2=2.$ Ca să acoperim diferența de $60$ de picioare, va trebui să facem $60:2=30$ înlocuiri. Așadar, vom avea $30$ de iepuri și $60-30=30$ de rațe.

Rezultatul de mai sus a fost obținut în baza primei ipoteze (că toți curcanii sunt rațe). Dacă ținem cont că, în realitate, numărul curcanilor este dublu față de numărul rațelor, obținem răspunsul final: $10$ rațe, $20$ de curcani și $30$ de iepuri.

Metoda falsei ipoteze (varianta 2). Notăm cu $r,i$ și $c$ numărul de rațe, iepuri, respectiv curcani.

• ipoteza 1: $r=1 \Rightarrow c=2 \Rightarrow i=60-3=57 \Rightarrow 3 \cdot 2 + 57 \cdot 4 = 234$ picioare;
• ipoteza 2: $r=2 \Rightarrow c=4 \Rightarrow i=60-6=54 \Rightarrow 6 \cdot 2 + 54 \cdot 4 = 228$ picioare;
• ipoteza 3: $r=3 \Rightarrow c=6 \Rightarrow i=60-9=51 \Rightarrow 9 \cdot 2 + 51 \cdot 4 = 222$ picioare;
• ...

Constatăm că dacă mărim numărul de rațe cu $1$, numărul de picioare scade cu $6.$ Deci nepotrivirea de $234-180=54$ picioare (de la prima ipoteză) o putem recupera crescând numărul rațelor cu $54:6=9.$
În concluzie, $r=1+9=10,~ c=2 \cdot 10=20,~ i=60-30=30.$

Metoda algebrică. Notăm cu $r,i$ și $c$ numărul de rațe, iepuri, respectiv curcani.

$$\begin{cases} r+i+c=60\\ 2r+4i+2c=180 \\ \boxed{c=2r} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3r+i=60 \\ 6r+4i=180 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3r+i=60\\ 3r+2i=90 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \boxed{i=30}.$$

$3r+30=60 \Rightarrow \boxed{r=10}.$
$c=2 \cdot 10 \Rightarrow \boxed{c=20}.$

Metoda falsei ipoteze. Ca un prim pas, încercăm să reducem problema la o altă problemă care să conțină doar două feluri de vehicule. În acest sens, observăm că dacă înlocuim camioanele cu autoturisme și bicicletele cu motociclete, numărul total de vehicule și de roți nu se modifică.

Așadar, ca o primă ipoteză, presupunem că toate camioanele sunt autoturisme și toate bicicletele sunt motociclete. În acest caz, problema poate fi reformulată astfel: "Prin fața casei lui Aurel au trecut $43$ de vehicule: autoturisme și motociclete, în total $122$ de roți. Aflați câte sunt din fiecare".

Pentru a rezolva această nouă problemă, apelăm la o a doua ipoteză: presupunem că toate autoturismele sunt motociclete. În acest caz avem $43*2=86$ de roți. Asta înseamnă o nepotrivire de $122-86 = 36$ de roți. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și autoturisme).

Dacă înlocuim o o motocicletă cu un autoturism, numărul de roți va crește cu $4-2=2.$ Ca să acoperim diferența de $36$ de rroți, va trebui să facem $36:2=18$ înlocuiri. Așadar, vom avea $18$ autoturisme și $43-18=25$ motociclete.

Rezultatul de mai sus a fost obținut în baza primei ipoteze (că toate camioanele sunt autoturisme și toate bicicletele sunt motociclete). Dacă ținem cont că, în realitate, numărul camioanelor este de $5$ ori mai mic decât numărul autoturismelor, și că numărul bicicletelor este cu $15$ mai mare decât cel al motocicletelor, obținem:

$$\begin{cases} \text{autoturisme + camioane}= 18\\ \text{autoturisme} = 5 \cdot \text{ camioane} \end{cases} \Rightarrow \boxed{3 \text{ camioane}} \text{ și } \boxed{15 \text{ autoturisme}}.$$

$$\begin{cases} \text{biciclete + motociclete} = 25\\ \text{biciclete} = 15 + \text{motociclete} \end{cases} \Rightarrow \boxed{5 \text{ motociclete}} \text{ și } \boxed{20 \text{ biciclete}}.$$

Metoda algebrică. Notăm cu $c,a,m$ și $b$ numărul de camioane, autoturisme, motociclete, respectiv biciclete.

$$\begin{cases} c+a+m+b=43\\ 4c+4a+2m+2b=122 \\ \boxed{a=5c} \\ \boxed{b=m+15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c+5c+m+15+m=43\\ 4c+20c+2m + 2(m+15)=122 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6c+2m= 28 \\ 24c+ 4m =92 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6c+2m= 28 \\ 12c+ 2m =46 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 6c=18 \Rightarrow \boxed{c=3}.$$

$6 \cdot 3+2m =28 \Rightarrow \boxed{m=5}.$
$a=5 \cdot c \Rightarrow \boxed{a=15}.$
$b=m+15 \Rightarrow \boxed{b=20}.$