Exercițiul 616

E.616. Într-un bloc sunt apartamente cu două și cu trei camere, în total 14.14. Câte apartamente cu două camere și câte cu trei camere sunt, dacă în total sunt 3737 de camere?

Olimpiadă, etapa locală, Harghita, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 99 apartamente cu 33 camere, 55 apartamente cu 22 camere.

Soluție:

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar apartamente cu două camere. În acest caz avem 14⋅2=2814 \cdot 2 = 28 de camere. Asta înseamnă o nepotrivire de 37−28=937-28=9 camere. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și apartamente cu 33 camere).

Dacă înlocuim un apartament cu 22 camere cu unul cu 33 camere, numărul de camere va crește cu 3−2=1.3-2=1. Ca să acoperim diferența de 99 camere, va trebui să facem 99 înlocuiri. Așadar, vom avea 99 apartamente cu 33 camere și 14−9=514-9=5 apartamente cu 22 camere.

Metoda algebrică. Notăm cu dd și tt numărul de apartamente cu două, respectiv cu trei camere.

{d+t=14∣⋅22d+3t=37⇔{2d+2t=28∣⋅22d+3t=37⇒(−)t=37−28⇒t=9. \begin{cases} d+t=14 \quad | \cdot 2 \\ 2d+3t=37 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2d+2t=28 \quad | \cdot 2 \\ 2d+3t=37 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} t=37-28 \Rightarrow \boxed{t=9}.
d+9=14⇒d=5.d+9=14 \Rightarrow \boxed{d=5}.