Exercițiul 643

E.643. La bunica în ogradă sunt rațe, iepuri și curcani, în total 6060 de capete și 180180 de picioare. Aflați câte sunt din fiecare, dacă curcanii sunt de două ori mai mulți decât rațele, iar iepurii cât rațele si curcanii la un loc.

Nadia Grad, Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1010 rațe, 2020 de curcani și 3030 de iepuri.

Soluție:

Obs. Problema poate fi rezolvată cu oricare 33 (din cele 44) informații oferite. Prin urmare, alegem să nu folosim ultima informație.

Metoda falsei ipoteze. Ca un prim pas, încercăm să reducem problema la o altă problemă care să conțină doar două feluri de animale. În acest sens, observăm că dacă înlocuim curcanii cu rațe, numărul total de capete și de picioare nu se modifică.

Așadar, ca o primă ipoteză, presupunem că toți curcanii sunt rațe. În acest caz, problema poate fi reformulată astfel: "Bunica are rațe și iepuri, în total 6060 de capete și 180180 de picioare. Aflați câte sunt din fiecare".

Pentru a rezolva această nouă problemă, apelăm la o a doua ipoteză: presupunem că toți iepurii sunt rațe. În acest caz avem 6060 de capete (deci 6060 de rațe) și 60∗2=12060*2=120 picioare. Asta înseamnă o nepotrivire de 180−120=60180-120=60 de picioare. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și iepuri).

Dacă înlocuim o rață cu un iepure, numărul de picioare va crește cu 4−2=2.4-2=2. Ca să acoperim diferența de 6060 de picioare, va trebui să facem 60:2=3060:2=30 înlocuiri. Așadar, vom avea 3030 de iepuri și 60−30=3060-30=30 de rațe.

Rezultatul de mai sus a fost obținut în baza primei ipoteze (că toți curcanii sunt rațe). Dacă ținem cont că, în realitate, numărul curcanilor este dublu față de numărul rațelor, obținem răspunsul final: 1010 rațe, 2020 de curcani și 3030 de iepuri.

Metoda falsei ipoteze (varianta 2). Notăm cu r,ir,i și cc numărul de rațe, iepuri, respectiv curcani.

  • ipoteza 1: r=1⇒c=2⇒i=60−3=57⇒3⋅2+57⋅4=234r=1 \Rightarrow c=2 \Rightarrow i=60-3=57 \Rightarrow 3 \cdot 2 + 57 \cdot 4 = 234 picioare;
  • ipoteza 2: r=2⇒c=4⇒i=60−6=54⇒6⋅2+54⋅4=228r=2 \Rightarrow c=4 \Rightarrow i=60-6=54 \Rightarrow 6 \cdot 2 + 54 \cdot 4 = 228 picioare;
  • ipoteza 3: r=3⇒c=6⇒i=60−9=51⇒9⋅2+51⋅4=222r=3 \Rightarrow c=6 \Rightarrow i=60-9=51 \Rightarrow 9 \cdot 2 + 51 \cdot 4 = 222 picioare;
  • ...

Constatăm că dacă mărim numărul de rațe cu 11, numărul de picioare scade cu 6.6. Deci nepotrivirea de 234−180=54234-180=54 picioare (de la prima ipoteză) o putem recupera crescând numărul rațelor cu 54:6=9.54:6=9.
În concluzie, r=1+9=10, c=2⋅10=20, i=60−30=30.r=1+9=10,~ c=2 \cdot 10=20,~ i=60-30=30.

Metoda algebrică. Notăm cu r,ir,i și cc numărul de rațe, iepuri, respectiv curcani.

{r+i+c=602r+4i+2c=180c=2r⇒{3r+i=606r+4i=180∣:2⇔{3r+i=603r+2i=90⇒(−)i=30. \begin{cases} r+i+c=60\\ 2r+4i+2c=180 \\ \boxed{c=2r} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3r+i=60 \\ 6r+4i=180 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3r+i=60\\ 3r+2i=90 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \boxed{i=30}.
3r+30=60⇒r=10.3r+30=60 \Rightarrow \boxed{r=10}.
c=2⋅10⇒c=20.c=2 \cdot 10 \Rightarrow \boxed{c=20}.