Exercițiul 638

E.638. Un grup de turiști face o excursie în Delta Dunării și trebuie repartizați în bărci. Dacă repartizăm în fiecare barcă câte 44 persoane, atunci 33 persoane vor rămâne pe mal, iar dacă în fiecare barcă repartizăm câte 55 persoane, o barcă va rămâne nefolosită, iar într-una dintre bărcile folosite vor fi doar 33 persoane. Câți turiști sunt în grup și câte bărci au fost puse la dispoziția acestora?

Olimpiadă, etapa locală, Mureș, Sibiu, Caraș-Severin, 2023
GM 9/2022
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1010 bărci; 4343 persoane.

Soluție:

Metoda algebrică. Notăm cu bb și pp numărul de bărci, respectiv numărul total de persoane.

{p=4b+3p=5(b−2)+3⇒4b+3=5(b−2)+3⇒b=10. \begin{cases} p=4b+3 \\ p=5(b-2)+3 \end{cases} \Rightarrow 4b+3=5(b-2)+3 \Rightarrow \boxed{b=10}.
p=4⋅10+3⇒p=43.p=4 \cdot 10 + 3 \Rightarrow \boxed{p=43}.

Metoda falsei ipoteze.
Prima ipoteză. Presupunem că avem 3∗3^* bărci. Atunci în prima repartizare vom avea 3⋅4+3=153 \cdot 4+3=15 persoane, iar în a doua repartizare vom avem 1⋅5+3=81 \cdot 5+3=8 persoane. Apare o nepotrivire de 15−8=715-8=7 persoane.

A doua ipoteză. Presupunem că avem 3+1=43+1=4 bărci. Atunci în prima repartizare vom avea 4⋅4+3=194\cdot 4+3=19 persoane, iar în a doua repartizare vom avem 2⋅5+3=132 \cdot 5+3=13 persoane. Apare o nepotrivire de 19−13=619-13=6 persoane.

Constatăm că, mărind numărul bărcilor cu 11, numărul persoanelor scade cu 1.1. Deci, pentru a recupera nepotrivirea de 77 persoane, trebuie ca la presupunerea inițială să creștem numărul bărcilor cu 7.7. Prin urmare, avem 3+7=103+7=10 bărci și 10⋅4+3=4310 \cdot 4 + 3=43 persoane.

(*) Pentru prima ipoteză am ales 33 bărci. Acest număr nu a fost ales întâmplător, ci reprezintă numărul minim de bărci care ne garantează că, indiferent de scenariu, avem cel puțin o barcă plină. Metoda ar fi funcționat cu orice număr mai mai mare sau egal cu 3.3.