Exercițiul 645

E.645. Un fermier glumeț zice: Am găini și iepuri. Când număr capetele, găsesc 100.100. Când număr picioarele, găsesc 320.320. Câte găini am?

Concursul "Micul Arhimede", Craiova, 2019; "Unitate și diversitate în matematică", Breaza, 2016
Răspuns | Soluție

Răspuns: 6060 de iepuri, 4040 de găini.

Soluție:

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar găini. În acest caz avem 100100 de capete (deci 100100 de găini) și 100∗2=200100*2=200 picioare. Asta înseamnă o nepotrivire de 320−200=120320-200=120 de picioare. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și iepuri).

Dacă înlocuim o găină cu un iepure, numărul de picioare va crește cu 4−2=2.4-2=2. Ca să acoperim diferența de 120120 de picioare, va trebui să facem 120:2=60120:2=60 înlocuiri. Așadar, vom avea 6060 de iepuri și 100−60=40100-60=40 de găini.

Metoda algebrică. Notăm cu gg și ii numărul de găini, respectiv iepuri.

{g+i=1002g+4i=320∣:2⇔{g+i=100g+2i=160⇒(−)i=60. \begin{cases} g+i=100\\ 2g+4i=320 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g+i=100\\ g+2i=160 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} \boxed{i=60}.
g+60=100⇒g=40.g+60=100 \Rightarrow \boxed{g=40}.